Para que valores de x a função g é contínua?

g x = 0                     s e   x   é   r a c i o n a l x             s e   x   é   i r r a c i o n a l

Passo 1

Falaeee, belezinha?

Então... nessa questão queremos encontrar os valores de x aonde a função g é contínua.

Para isso, iremos utilizar a definição de limite por ε e δ e o Teorema do Confronto.

Passo 2

Nossa função g é contínua no 0 , pois - x ≤ g ( x ) ≤ x . Dessa forma

lim x → 0 ⁡ - x ≤ lim x → 0 ⁡ g ( x ) ≤ lim x → 0 ⁡ x

Pelo teorema do confronto, temos que

0 ≤ g ( x ) ≤ 0

E assim, podemos concluir que g ( x ) é contínua no 0 .

Passo 3

Precisamos agora analisar os outros pontos aonde nossa função g ( x ) pode ser contínua.

Para a ≠ 0 e δ > 0 , temos no intervalo ( a - δ ,   a + δ ) infinitos números racionais e irracionais.

Se g a = 0 ou g a = a , existem infinitos números x com 0 < x - a < δ   e g x - g ( a ) = a 2 .

Dessa forma, o limite fica:

lim x → a ⁡ g ( x ) ≠ g ( a )

E assim, nossa função g ( x ) não é contínua em nenhum ponto além do 0 .

Resposta

A função g ( x ) só é contínua no 0 , pois para qualquer outro valor de x , temos que:

lim x → a ⁡ g ( x ) ≠ g ( a )

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