Avalie a integral.

∫ sin ² ⁡ x sin ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos o resultado da integral dada. Para resolvermos, precisamos lembrar da seguinte identidade:

sin ² ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Substituindo na nossa integral:

∫ 1 - cos ⁡ ( 2 x ) 2 ⁡ sin ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 2

Então, vamos utilizar a regra da substituição:

u = 1 - cos ⁡ ( 2 x )

d x 2 sin ⁡ ( 2 x ) = d u

Substituindo u e d u / d x   , temos:

1 4 ∫ u d u  

Passo 3

Por fim, vamos integrar em u e depois substituir:

1 4 ∫ u d u

Integrando:

1 4 u 2 2 + C  

Substituindo u :

1 8 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) ² + C

Resposta

1 8 ( 1 - cos ⁡ 2 x ) ² + C

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