Enunciado

  1. Para quais valores de k a função y = c o s k t satisfaz a equação diferencial 4 y " = - 25 y ?
  2. Para estes valores de k , verifique que todo membro da família de funções y = A s e n k t + B c o s k t também é uma solução.

Passo 1

  1. Queremos descobrir quais valores de k fazem com que a função y = c o s k t satisfaça a equação diferencial 4 y ” = - 25 y . Então vamos aplicar a função na equação e encontrar os valores de k que tornam a equação verdadeira, começamos derivando y :
  2. y = c o s k t

    y ' = - k s e n k t

    y " = - k 2   c o s k t  

    Agora podemos substituir as equações:

    4 y ” = - 25 y

    - 4 k 2 c o s k t = - 25 c o s k t

    k 2 = 25 4

      k =   ± 5 2

    Passo 2

  3. Precisamos mostrar que todas as funções do tipo y = A s e n k t + B c o s k t são soluções da equação 4 y " = - 25 y , onde k = ± 5 2 . Então vamos dividir a resolução em dois casos para facilitar.

Caso 1: k = 5 2

y = A s e n 5 t 2 + B c o s 5 t 2

y ' = 5 2 A c o s 5 t 2 - 5 2 B s e n 5 t 2

y " = - 2 5 4 A s e n 5 t 2 - 25 4 B c o s 5 t 2

Aplicando em 4 y " = - 25 y temos:

- 25 A s e n 5 t 2 - 25 B c o s 5 t 2 = - 25 A s e n 5 t 2 - 25 B c o s 5 t 2

0 = 0

Caso 2: k =   - 5 2

y = A s e n - 5 t 2 + B c o s - 5 t 2

y ' = - 5 2 A c o s - 5 t 2 + 5 2 B s e n - 5 t 2

y " = - 25 4 A s e n - 5 t 2 - 25 4 B c o s - 5 t 2

Note que os coeficientes das expressões y   e   y " são iguais nos dois casos, portanto usando k =   - 5 2 também obtemos uma igualdade verdadeira. Então, provamos que as equações da família y = A s e n k t + B c o s k t são soluções da equação diferencial 4 y " = - 25 y .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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