Enunciado

Para que valor(es) de x obteremos c o s ( x ) = 2 x ?

Passo 1

Para obtermos cos (x) = 2 x separaremos em duas funções e vamos plotar o gráfico para ver o ponto de intersecção entre eles. Dessa forma, tomemos y 1 = 2 x e y 2 = cos (x) , plotando o gráfico vamos obter

Podemos reparar que existe um valor que se encontra entre 0 e 1 e é exatamente eles quem queremos estimar utilizando o método de Newton que nos diz que

x_n + 1 = x_n - (f ( x_n ))/(f ' ( x_n ))

Passo 2

Primeiramente vamos derivar a função, para poder substituir na fórmula do método de Newton. Assim,

f (x) = cos (x) - 2 x -> f^' (x) = - s e n (x) - 2

Tomando, também, um valor intermediário no intervalo como valor inicial poderemos estimar nossa raiz, assim pegando x 0 = 0.5 podemos substituir na fórmula obtendo

x_n + 1 = x_n - (cos (x_n) - 2 x_n)/(- s e n (x_n) - 2)

Na nossa primeira iteração, vamos obter

x_0 + 1 = x_0 + (cos (x_0) - 2 x_0)/(s e n (x_0) + 2)

x_1 = 0.5 + (cos (0.5) - 2 * ( 0.5 ))/(s e n (0.5) + 2)

x_1 tildetilde 0.45063

Para nossa próxima iteração utilizaremos o valor de x_1 como valor inicial e faremos

x_1 + 1 = x_1 + (cos (x_1) - 2 x_1)/(s e n (x_1) + 2)

x_2 = 0.45063 + (cos (0.45063) - 2 * ( 0.45063 ))/(s e n (0.45063) + 2)

x_2 tildetilde 0.45018

Portanto, podemos pegar 0.45 como uma boa aproximação para termos cos (x) = 2 x .

Resposta

Para x tildetilde 0.45 temos cos (x) = 2 x

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