Enunciado

Em qual intervalo a função k (x) = x^((- 1)/(6)) é contínua ?

Passo 1

Vendo a palavra continuidade e dando uma folheada no livro, achei uma parada massa que vai ser importante para a gente usar aqui. É um teorema que diz que uma função é continua em um ponto c quando

underset(x -> c)(lim) f (x) = f ( c )

Como a questão quer saber em quais intervalos a função é contínua, vamos considerar um ponto c qualquer e estipular condições para que funcione a igualdade, fechou? E assim, a gente vai tá determinando o intervalo.

Partxiu!

Queremos que

underset(x -> c)(lim) k (x) = k ( c ) ⟹ underset(x -> c)(lim) k (x) = c^((- 2)/(3))

Perceba que

underset(x -> c)(l i m) x^((- 1)/(6)) = c^((- 1)/(6)) = (1)/(c^((1)/(6))) = (1)/(root(3)(sqrt(c)))

E como o nosso limite explodiria caso c = 0 ou não estaria bem definido se c < o , pois não tiramos raiz de números negativos

c^((- 1)/(6)) = f ( c )

Desde que c != 0 . e c > 0

Então, f é contínua, para qualquer c != 0 e c > 0 . Ou seja, (0 , oo)

Resposta

(0 , oo)

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