Enunciado

Vamos considerar agora um problema de autovalores de ordem mais alta. A análise das vibrações transversas de uma barra elástica uniforme se baseia na equação diferencial

λ 4 - λ y = 0 ,

em que y é o deslocamento transversal e   λ   =   m ω 2 / E I ; m é a massa por unidade de comprimento da barra, E é o módulo de Young,   I   é o momento de inércia da seção reta em relação a um eixo perpendicular ao plano de vibração que contém o centroide, e ω é a frequência de vibração. Então, para uma barra cujas propriedades materiais e geométricas são dadas, os autovalores determinam as frequências naturais de vibração. As condições de contorno em cada extremidade são, em geral, de um dos seguintes tipos:

y   =   y '   =   0 ,   e x t r e m i d a d e   p r e s a ,

y   =   y ' '   =   0 ,   e x t r e m i d a d e   a p o i a d a   o u   c o m   d o b r a d i ç a ,

y ' '   =   y ' ' '   =   0 ,   e x t r e m i d a d e   l i v r e .

Para cada um dos três casos a seguir, encontre a forma das autofunções e a equação satisfeita pelos autovalores desse problema de valores de contorno de quarta ordem. Determine   λ 1 e λ 2 , os dois autovalores de menor módulo. Suponha que os autovalores são reais e positivos.

a )   y ( 0 )   =   y ' ' ( 0 )   =   0 ,   y ( L )   =   y ' ' ( L )   =   0

Passo 1

Poxa, a primeira coisa a se fazer aqui, certamente é encontrar o protótipo de soluções da EDO:

λ 4 - λ y = 0

Usando a equação característica:

r 4 - λ = 0

Resolvendo essa equação...

r = λ 1 / 4

As raízes dessa equação podem então ser determinadas usando Euler para a representação dos números complexos:

λ = λ e 2 π m

Ou...

λ 1 / 4 = λ 1 / 4 e π m 2

Fazendo m variar de 0 a 3 , vamos determinar todas as raízes dessa equação que serão:

λ 1 = λ 4   ,                     λ 2 = - λ 4   ,                     λ 3 = λ 4 i                   e                     λ 4 = - λ 4 i

Dado duas raízes reais e duas complexas conjugadas, a solução da EDO será:

y = c 1 e λ 4 t + c 2 e - λ 4 t + c 3 sin ⁡ λ 4 t + c 4 cos ⁡ λ 4 t

Onde c 1 , c 2 , c 3 e c 4 são constantes a determinar através das condições iniciais .

Passo 2

Vamos começar trabalhando com as duas condições referentes ao ponto inicial:

y ( 0 )   =   y ' ' ( 0 )   =   0

y 0 = c 1 e 0 + c 2 e 0 + c 3 sin ⁡ 0 + c 4 cos ⁡ 0   →

0 = c 1 + c 2 + c 4  

SHOW! Então derivando uma vez...

y ' = c 1 λ 4 e λ 4 t - λ 4 c 2 e - λ 4 t + λ 4 c 3 cos ⁡ λ 4 t - λ 4 c 4 sin ⁡ λ 4 t

E derivando novamente, obteremos...

y ' ' = c 1 λ 4 λ 4 e λ 4 t + λ 4 λ 4 c 2 e - λ 4 t - λ 4 λ 4 c 3 sin ⁡ λ 4 t - λ 4 λ 4 c 4 cos ⁡ λ 4 t

y ' ' = c 1 λ e λ 4 t + λ c 2 e - λ 4 t - λ c 3 sin ⁡ λ 4 t - λ c 4 cos ⁡ λ 4 t

Substituindo então o ponto t = 0 :

y ' ' 0 = c 1 λ e 0 + λ c 2 e 0 - λ c 3 sin ⁡ 0 - λ c 4 cos ⁡ 0   →

0 = c 1 λ + λ c 2 - λ c 4

Pegando essa equação e comparando com a equação de cima, essa daqui oh:

0 = c 1 + c 2 + c 4  

Concluímos que:

c 4 = 0

E portanto...

c 1 = - c 2

Passo 3

Agora vamos utilizar as demais condições:

y ( L )   =   y ' ' ( L )   =   0

Substituindo a primeira y L aqui:

y = c 1 e λ 4 t + c 2 e - λ 4 t + c 3 sin ⁡ λ 4 t + c 4 cos ⁡ λ 4 t

y L = c 1 e λ 4 L - c 1 e - λ 4 L + c 3 sin ⁡ λ 4 L     →

0 = c 1 e λ 4 L - c 1 e - λ 4 L + c 3 sin ⁡ λ 4 L  

0 = c 1 e λ 4 L - e - λ 4 L + c 3 sin ⁡ λ 4 L       ( I )

Agora vamos para a condição com a segunda derivada:

y ' ' L = c 1 λ e λ 4 L - λ c 1 e - λ 4 L - λ c 3 sin ⁡ λ 4 L

0 = c 1 λ e λ 4 L - λ e - λ 4 L - λ c 3 sin ⁡ λ 4 L     ( I I )

Se multiplicarmos a primeira equação I por λ e somássemos nessa equação dois, íamos obter:

2 c 1 λ e λ 4 L - λ e - λ 4 L = 0

Como o termo do parênteses não pode ser 0 , sobra apenas...

c 1 = 0

Como c 2 = - c 1 = 0 . Da primeira equação I tiramos que:

c 3 sin ⁡ λ 4 L = 0     →

Como não queremos c 3 = 0 (se não todas as constantes serão nulas), podemos então dizer que pelo menos o seno deve ser 0 . Para isso...

λ 4 L = n π

λ = n 4 π 4 L 4

Esses são os autovalores da nossa expressão. As autofunções são então:

y = c 1 e λ 4 t + c 2 e - λ 4 t + c 3 sin ⁡ λ 4 t + c 4 cos ⁡ λ 4 t     →

y n = sin ⁡ λ 4 t =

sin ⁡ n 4 π 4 L 4 t

Os dois termos mais baixos de λ nesse caso são:

λ 1 = π 4 L 4         e             λ 2 = 2 4 π 4 L 4

Resposta

λ 1 = π 4 L 4         e             λ 2 = 2 4 π 4 L 4

y n = sin ⁡ n 4 π 4 L 4 t

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