Enunciado

Vamos discutir, nesse problema, o erro de truncamento global associado ao método de Euler para o problema de valor inicial y′ = f(t, y), y(t0) = y0. Supondo que as funções f e fy são contínuas em uma região R fechada e limitada do plano ty que inclui o ponto (t0, y0), pode-se mostrar que existe uma constante L tal que |f(t, y) – f(t, ỹ |

Suponha que, se E0 = 0 e se |En| satisfaz a Eq. (i), então |En| ≤ βh²(α^n – 1)/(α − 1) para α ≠ 1. Use esse resultado para mostrar que. A Eq. (ii) fornece uma cota para |En| em termos de h, L, n e β. Note que, para um h fixo, essa cota aumenta quando n aumenta, ou seja, o erro aumenta com a distância ao ponto inicial t0

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, vamos trabalhar com o erro associado ao truncamento das soluções do método de Euler. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução com o truncamento local.

ϕ t n + 1 = ϕ t n + h f t n ,   ϕ t n + 1 2 ϕ ' ' t n h 2

y n + 1 = y n + h f n

E n = ϕ t n - y n

E n + 1   = ϕ t n + 1 - y n + 1  

Ao substituirmos e agruparmos os termos, temos:

E n + 1   ≤ E n + h f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n + 1 2 ϕ ' ' t n h 2    

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n < L ϕ t n - y n

f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n < L   E n

E n ≤ β h 2 α n - 1 α - 1

α = 1 + h L

β = 1 2 ϕ ' ' t n

E n ≤ β h α n - 1 L

Resposta

E n ≤ β h α n - 1 L

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 2 y ' ' + 3 x y ' - 4 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 3 d 3 y d x 3 - 2 x 2 d 2 y d x 2 - 2 x d y d x + 8 y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 3 y ' ' ' + x y ' - y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. 2 x 2 y ' ' + x y ' + y = 0
Nos problemas 1-22, resolva a equação diferencial dada. x 3 y ' ' ' - 6 y = 0