Enunciado

Vamos discutir, nesse problema, o erro de truncamento global associado ao método de Euler para o problema de valor inicial y′ = f(t, y), y(t0) = y0. Supondo que as funções f e fy são contínuas em uma região R fechada e limitada do plano ty que inclui o ponto (t0, y0), pode-se mostrar que existe uma constante L tal que |f(t, y) – f(t, ỹ |

Usando a Eq. (20), mostre que em que α = 1 + hL e β = max|φ′′(t)|/2 em t0 ≤ t ≤ tn.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nessa questão, vamos trabalhar com o erro associado ao truncamento das soluções do método de Euler. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser determinar o formato da solução com o truncamento local.

ϕ t n + 1 = ϕ t n + h f t n ,   ϕ t n + 1 2 ϕ ' ' t n h 2

y n + 1 = y n + h f n

E n = ϕ t n - y n

E n + 1   = ϕ t n + 1 - y n + 1  

Ao substituirmos e agruparmos os termos, temos:

E n + 1   ≤ E n + h f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n + 1 2 ϕ ' ' t n h 2    

Passo 3

Pronto!! Agora é só fazermos umas matemágicas aí pra achar o resultado!!

f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n < L ϕ t n - y n

f t n ,   ϕ t n - f n t n ,   y n < L   E n

E n + 1   ≤ E n + h L E n + 1 2 ϕ ' ' t n h 2

E n + 1   ≤ E n 1 + L h + 1 2 ϕ ' ' t n h 2

α = 1 + h L

β = 1 2 ϕ ' ' t n

  E n + 1   ≤ α E n + β h 2

Resposta

E n + 1   ≤ α E n + β h 2

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