Enunciado

Variação de temperatura ao longo de uma curva espacial A temperatura em Celsius em uma região no espaço é dada por T(x, y, z) = 2x2 – xyz. Uma partícula está se movendo nessa região e sua posição no tempo t é dada por x = 2t2, y = 3t, z = –t2, onde o tempo é mensurado em segundos e a distância, em metros.

a. Qual é a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula em graus Celsius por metro quando a partícula está no ponto P(8, 6, –4)?

b. Qual é a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula em graus Celsius por segundo em P?

Passo 1

Fala queridos, tudo bom com vocês? Prontos para detonar mais uma questãozinha? Bora! No item a), temos a variação e posição no tempo t, dada por:

r t = sin ⁡ 2 t   i + cos ⁡ 2 t j

Aplicando para o vetor gradiente v(t):

v t = ( 2 cos ⁡ 2 t ) i - 2 ( sin ⁡ 2 t ) j

E o seu módulo:

v = 2

Aplicando então a variação de T para o ponto (8,6,-4):

v t = 4 t i + 3 j - 2 t k

= 8 89 i + 3 89 j - 4 89 k

d u T 8,6 , - 3 = ∇ T ⋅ u =

736 89 ° C / m

Passo 2

No item b), entendemos velocidade de variação, como a derivada da temperatura em x e y dada pela formula:

d T d t = δ T δ x d x d t + δ T δ y d y d t = ∇ T ⋅ v

Aplicando em t = 2 ,

v 2 = 736   ° C / s e g u n d o s

Resposta

a ) 736 89 ° C / m

b ) 736   ° C / s e g u n d o s

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Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:i) f x ,t = x + 2 t ln ⁡ ( x + 2 t ) ; P e , 1
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:b) z = x 2 y + 3 x y + y 2 ; P 0 ,3
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:g) f u ,v ,w = u 2 + v 2 - w 2 + u v w ; P 0,1 ,0
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:c) z = s e n( 3 x + y ) ; P 0 , π 2
Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:f) z = x y - s e n( x + y ) ; P π 2 , 0