Enunciado

Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:

c) z = s e n   ( 3 x + y ) ; P 0 , π 2

Passo 1

O vetor gradiente é dado por:

∇ z = ∂ z ∂ x , ∂ z ∂ y

Então, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a x :

∂ z ∂ x = 3 cos ⁡ ( 3 x + y )

Agora, vamos calcular a derivada parcial de z em relação a y :

∂ z ∂ y = cos ⁡ ( 3 x + y )

Desse modo, temos o seguinte vetor gradiente:

∇ z = 3 cos ⁡ ( 3 x + y , cos ⁡ ( 3 x + y ) )

Passo 2

Devemos agora, aplicar o ponto dado no vetor gradiente obtido.

Então, no ponto   P 0 , π 2 , temos:

∇ z 0 , π 2 = 3 cos ⁡ π 2 , cos ⁡ π 2 = ( 0 ,   0 )

Resposta

∇ z 0 , π 2 = ( 0 ,   0 )

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Determine todas as funções A = x , y ,y0 ∪ x , y ,x0 tal que φ - 1,1 = π 4 , tal que ∇ φ x , y ,= - y x 2 + y 2,x x 2 + y 2
Seja F → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → , x , y ≠ 0,0 .Verifique que para todo x , y ≠ ( 0,0 ) ∂ P ∂ y x , y = ∂ Q ∂ x ( x , y )
Seja F → x , y = - y x 2 + y 2 i → + x x 2 + y 2 j → , x , y ≠ 0,0 .b) Calcule ∫ 0 2 πF y t ⋅ y ' t d t , onde γ t = cos ⁡ t , s e n t ,t ∈ [ 0 , , 2 π ]
Seja F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → um campo de forças, com P , Q s funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Seja γ t = ( x t , y t ,t ∈ [ a , b ] , uma curva de classe C 1 , com γ a = γ ( b ) ( γ