Verdadeiro ou falso? Quando x -> infinito .

  1. x = o(x)
  2. x = o(x + 5)
  3. x = O(x + 5)
  4. x = O(2x)
  5. e^x = o(e^(2x))
  6. x + ln x = O(x)
  7. ln x = o(ln 2x)
  8. raiz(x^2 + 5) = O(x)

Passo 1

Bom, o enunciado pede para verificar se é verdadeiro ou falso quanto a ordem de crescimento das funções quando x → ∞ ?

Mas o que seria esses “o” e “O”? Para isso, vamos relembrar as definições:

Temos uma função f de ordem menor que g quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) = 0

Quando isso ocorre dizemos que f é “ozinho” de g ou f = o ( g )

Show! E como verificamos se f é ozão de g . Bom, para isso, temos que fazer o seguinte:

f ( x ) g ( x ) ≤ M

Onde M é um inteiro positivo.

E representamos f = O g .

Agora vamos verificar item por item. Beleza?

  1. lim x → ∞ ⁡ x x =   1

    Logo, o item é falso. Pois as funções crescem à mesma ordem

    Passo 2

  2. lim x → ∞ ⁡ x x + 5 = 1 1 = 1

    Logo, o item é falso.

    Passo 3

x x + 5

Temos que x < x + 5   →   x x + 5 < 1 para um x suficientemente grande

Concluímos que o item é verdadeiro

Passo 2

d)

Temos que x < 2 x   → x 2 x < 1 para um x suficientemente grande

Logo, concluímos que o tem é verdadeiro

Passo 3

  1. Vamos verificar o limite quando x → ∞ .
  2. lim x → ∞ ⁡ e x e 2 x = l i m x → ∞ 1 e x = 0  

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 6

  3. x + ln ⁡ x   x = 1 +   ln ⁡ x   x < 1 +   x x = 1 +   1 x < 2
  4. Para um x suficientemente grande, logo o item é verdadeiro

    Passo 7

  5. Façamos:
  6. l i m x → ∞   ln ⁡ x   ln ⁡ 2 x =   l i m x → ∞   1 x 2 2 x =   l i m x → ∞ 1 = 1

    Logo, o item é verdadeiro

    Passo 8

  7. Vamos verificar:

x 2 + 5 x <   x + 5 2 x <   x + 5 x < 6

Para um x suficientemente grande, logo o item é verdadeiro

Resposta

São Verdadeiros: c,d,e,f,h,

São Falsos: a,b,g

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