Enunciado

Determine a área da superfície gerada pela rotação da curva em torno do eixo indicado.

x = 2 4 - y ,         0 ≤ y ≤ 15 4 ;         e i x o   y

Passo 1

Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Assim, temos que:

S = ∫ 0 15 4 2 π   2 4 - y 1 + 1 4 - y 2       d y = 4 π ∫ 0 15 4 4 - y 1 + 1 4 - y   d y =

= 4 π ∫ 0 15 4 4 - y 5 - y 4 - y   d y = 4 π ∫ 0 15 4 5 - y   d y

Passo 2

Para calcular essa integral vamos utilizar o método da substituição. Lembre-se que a integração por substituição consiste em fazer uma troca de uma parte de uma função f ( x ) por uma variável simples ( u ) e que resulte em um d u = f ’ ( x ) conveniente que irá possibilitar a integração, geralmente esse resultado é parte de outra função contida no integrando. Após integrar, você deve substituir a variável simples pela função que você a usou para substituir.

u = 5 - y                         d u =   - d y

Passo 3

Aplicando a substituição e integrando, temos:

- 4 π ∫ 0 15 4 u 1 2   d y = - 4 π   u 3 2 3 2 15 4 0 = - 8 π 3 u 3 2 15 4 0  

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

∫ x n   d x = x n + 1 n + 1

Passo 4

Substituindo u pela função que atribuímos, temos:

- 8 π 3 u 3 2 15 4 0 = - 8 π 3 5 - y 3 2   15 4 0

Passo 5

Por fim, aplicamos os limites de integração e calculamos a área:

S = -   8 π 3 5 - y 3 2   15 4 0 = - 8 π 3 5 - 15 4 3 2 - 5 3 2   = - 8 π 3 5 4 3 - 5 3 =

= 8 π 3 5 5 - 5 5 8 = 8 π 3 40 5 - 5 5 8 = 35 π 5 3

Relembrando que de forma genérica a aplicação dos limites de integração ele é feito da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Resposta

35 π 5 3

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante y = 1 - x 2 , 0 ≤ x ≤ 1
Calcule a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x y = x 3 6 + 1 2 x , 1 2 ≤ x ≤ 1
Use a regra de Simpson com n = 10 para aproximar a área da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x . Compare o seu resultado com o valor da integral obtido em sua calculadora y = ln
A curva dada é girada em torno do eixo y . Calcule a área da superfície resultante x = a 2 - y 2 , 0 ≤ y ≤ a / 2
Use um SCA ou uma tabela de integrais para encontrar a área exata da superfície obtida pela rotação da curva dada em torno do eixo x y = 1 x , 1 ≤ x ≤ 2