Verificar se o campo dado é irrotacional.

c) f(x, y, z) = (yz \* e^(xyz), xz \* e^(xyz), xy \* e^(xyz))

Passo 1

Queremos saber se o campo dado é irrotacional, para isso basta calcularmos o rot ⁡ f → e verificar se é igual a 0 → . Se rot ⁡ f → = 0 → , o campo é irrotacional.

Passo 2

Então podemos calcular rot ⁡ f → fazermos o seguinte:

rot ⁡ f →   = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ f 3 ∂ y - ∂ f 2 ∂ z i → + ∂ f 1 ∂ z - ∂ f 3 ∂ x j → + ∂ f 2 ∂ x - ∂ f 1 ∂ y k →

Passo 3

Aplicando a formula cima em f → temos:

rot ⁡ f → = ∂ x y e x y z ∂ y - ∂ x z e x y z ∂ z i → + ∂ y z e x y z ∂ z - ∂ x y e x y z ∂ x j → + ∂ x z e x y z ∂ x - ∂ y z e x y z ∂ y k →

rot ⁡ f → = x e x y z + x 2 y z e x y z - x e x y z - x 2 y z e x y z i → + y e x y z + x y 2 z e x y z - y e x y z - x y 2 z e x y z j → + z e x y z + x y z 2 e x y z - z e x y z - x y z 2 e x y z k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + 0 k →

rot ⁡ f → = 0 →

Temos então rot ⁡ f → = 0 → , portanto o campo é irrotacional.

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo é irrotacional.

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