Enunciado

Verificar as fórmulas:

  1. int tg^n u d u = (1)/(n - 1) tg^(n - 1) u - int tg^(n - 2) u d u
  2. int cotg^n u d u = (- 1)/(n - 1) co tg^(n - 1) u - int cotg^(n - 2) u d u

Passo 1

  1. Vamos lá, vamos verificar a fórmula:
  2. int tg^n u d u = (1)/(n - 1) tg^(n - 1) u - int tg^(n - 2) u d u

    Vamos resolver o lado esquerdo da expressão para chegar no do lado direito:

    int tg^n u d u

    Passo 2

    Primeiro vamos fazer uma manipulação:

    int tg^n u d u = int tg^(n - 2) u tg^2 u d u

    Pronto, agora vamos usar a seguinte identidade:

    1 + tg^2 x = sec^2 x -> tg^2 x = s ec^2 x - 1

    Vamos substituir:

    int tg^n u d u = int tg^(n - 2) u tg^2 u d u

    int tg^n u d u = int tg^(n - 2) u (sec^2 u - 1) d u

    int tg^n u d u = int tg^(n - 2) u sec^2 u - tg^(n - 2) u d u

    int tg^n u d u = int tg^(n - 2) u sec^2 u d u - int tg^(n - 2) u d u

    Pronto, chegamos a um resultado bem parecido com o que queremos, falta só resolver essa primeira integral que achamos.

    Passo 3

    Vamos fazer a substituição na primeira integral:

    v = tg u

    Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

    d v = sec^2 u d u

    Agora é fazer a substituição:

    int tg^(n - 2) u sec^2 u d u = int v^(n - 2) d v

    Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

    int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

    Agora é só aplicar:

    int v^(n - 2) d v = (v^(n - 2 + 1))/(n - 2 + 1) = (v^(n - 1))/(n - 1)

    Passo 4

    Quase lá, agora vamos voltar à expressão original:

    int tg^n u d u = int tg^(n - 2) u sec^2 u d u - int tg^(n - 2) u d u

    int tg^n u d u = int v^(n - 2) d v - int tg^(n - 2) u d u

    int tg^n u d u = (v^(n - 1))/(n - 1) - int tg^(n - 2) u d u

    Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável u , é só substituir de volta o que você usou no começo:

    int tg^n u d u = (v^(n - 1))/(n - 1) - int tg^(n - 2) u d u

    int tg^n u d u = (tg^(n - 1) u)/(n - 1) - int tg^(n - 2) u d u

    Pronto, verificamos!!

    Passo 5

  3. Vamos lá, vamos verificar a fórmula:

int cotg^n u d u = (- 1)/(n - 1) co tg^(n - 1) u - int cotg^(n - 2) u d u

Vamos resolver o lado esquerdo da expressão para chegar no do lado direito:

int co tg^n u d u

Passo 2

Primeiro vamos fazer uma manipulação:

int co tg^n u d u = int co tg^(n - 2) u co tg^2 u d u

Pronto, agora vamos usar a seguinte identidade:

1 + co tg^2 x = co sec^2 x -> co tg^2 x = co sec^2 x - 1

Vamos substituir:

int cotg^n u d u = int cotg^(n - 2) u cotg^2 u d u

int cotg^n u d u = int co tg^(n - 2) u (co sec^2 u - 1) d u

int cotg^n u d u = int co tg^(n - 2) u co sec^2 u - co tg^(n - 2) u d u

int cotg^n u d u = int co tg^(n - 2) u co sec^2 u d u - int co tg^(n - 2) u d u

Pronto, chegamos a um resultado bem parecido com o que queremos, falta só resolver essa primeira integral que achamos.

Passo 3

Vamos fazer a substituição na primeira integral:

v = co tg u

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d v = - co sec^2 �� u d u

Agora é fazer a substituição:

int cotg^(n - 2) u cosec^2 u d u = int - v^(n - 2) d v

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int - v^(n - 2) d v = - (v^(n - 2 + 1))/(n - 2 + 1) = (- v^(n - 1))/(n - 1)

Passo 4

Quase lá, agora vamos voltar à expressão original:

int cotg^n u d u = int cotg^(n - 2) u cosec^2 u d u - int cotg^(n - 2) u d u

int cotg^n u d u = int - v^(n - 2) d v - int cotg^(n - 2) u d u

int cotg^n u d u = (- v^(n - 1))/(n - 1) - int cotg^(n - 2) u d u

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável u , é só substituir de volta o que você usou no começo:

int cotg^n u d u = (- v^(n - 1))/(n - 1) - int cotg^(n - 2) u d u

int cotg^n u d u = (- cotg^(n - 1) u)/(n - 1) - int cotg^(n - 2) u d u

Pronto, verificamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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