Verificar as fórmulas:

  1. ∫ tg n ⁡ u d u = 1 n - 1 tg n - 1 ⁡ u - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u
  2. ∫ cotg n ⁡ u d u = - 1 n - 1 co tg n - 1 ⁡ u - ∫ cotg n - 2 ⁡ u d u

Passo 1

  1. Vamos lá, vamos verificar a fórmula:
  2. ∫ tg n ⁡ u d u = 1 n - 1 tg n - 1 ⁡ u - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

    Vamos resolver o lado esquerdo da expressão para chegar no do lado direito:

    ∫ tg n ⁡ u d u

    Passo 2

    Primeiro vamos fazer uma manipulação:

    ∫ tg n ⁡ u d u = ∫ tg n - 2 ⁡ u tg 2 ⁡ u d u

    Pronto, agora vamos usar a seguinte identidade:

    1 + tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x → tg 2 ⁡ x = s ec 2 ⁡ x - 1

    Vamos substituir:

    ∫ tg n ⁡ u d u = ∫ tg n - 2 ⁡ u tg 2 ⁡ u d u

    ∫ tg n ⁡ u d u = ∫ tg n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u - 1 d u

    ∫ tg n ⁡ u d u = ∫ tg n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u - tg n - 2 ⁡ u d u

    ∫ tg n ⁡ u d u = ∫ tg n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u d u - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

    Pronto, chegamos a um resultado bem parecido com o que queremos, falta só resolver essa primeira integral que achamos.

    Passo 3

    Vamos fazer a substituição na primeira integral:

    v = tg ⁡ u

    Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

    d v = sec 2 ⁡ u d u

    Agora é fazer a substituição:

    ∫ tg n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u d u = ∫ v n - 2 d v

    Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    Agora é só aplicar:

    ∫ v n - 2 d v = v n - 2 + 1 n - 2 + 1 = v n - 1 n - 1

    Passo 4

    Quase lá, agora vamos voltar à expressão original:

    ∫ tg n ⁡ u d u = ∫ tg n - 2 ⁡ u sec 2 ⁡ u d u - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

    ∫ tg n ⁡ u d u = ∫ v n - 2 d v - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

    ∫ tg n ⁡ u d u = v n - 1 n - 1 - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

    Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável u , é só substituir de volta o que você usou no começo:

    ∫ tg n ⁡ u d u = v n - 1 n - 1 - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

    ∫ tg n ⁡ u d u = tg n - 1 ⁡ u n - 1 - ∫ tg n - 2 ⁡ u d u

    Pronto, verificamos!!

    Passo 5

  3. Vamos lá, vamos verificar a fórmula:

∫ cotg n ⁡ u d u = - 1 n - 1 co tg n - 1 ⁡ u - ∫ cotg n - 2 ⁡ u d u

Vamos resolver o lado esquerdo da expressão para chegar no do lado direito:

∫ co tg n ⁡ u d u

Passo 2

Primeiro vamos fazer uma manipulação:

∫ co tg n ⁡ u d u = ∫ co tg n - 2 ⁡ u co tg 2 ⁡ u d u

Pronto, agora vamos usar a seguinte identidade:

1 + co tg 2 ⁡ x = co sec 2 ⁡ x → co tg 2 ⁡ x = co sec 2 ⁡ x - 1

Vamos substituir:

∫ cotg n ⁡ u d u = ∫ cotg n - 2 ⁡ u cotg 2 ⁡ u d u

∫ cotg n ⁡ u d u = ∫ co tg n - 2 ⁡ u co sec 2 ⁡ u - 1 d u

∫ cotg n ⁡ u d u = ∫ co tg n - 2 ⁡ u co sec 2 ⁡ u - co tg n - 2 ⁡ u d u

∫ cotg n ⁡ u d u = ∫ co tg n - 2 ⁡ u co sec 2 ⁡ u d u - ∫ co tg n - 2 ⁡ u d u

Pronto, chegamos a um resultado bem parecido com o que queremos, falta só resolver essa primeira integral que achamos.

Passo 3

Vamos fazer a substituição na primeira integral:

v = co tg ⁡ u

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d v = - co sec 2 �� u d u

Agora é fazer a substituição:

∫ cotg n - 2 ⁡ u cosec 2 ⁡ u d u = ∫ - v n - 2 d v

Pronto, agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ - v n - 2 d v = - v n - 2 + 1 n - 2 + 1 = - v n - 1 n - 1

Passo 4

Quase lá, agora vamos voltar à expressão original:

∫ cotg n ⁡ u d u = ∫ cotg n - 2 ⁡ u cosec 2 ⁡ u d u - ∫ cotg n - 2 ⁡ u d u

∫ cotg n ⁡ u d u = ∫ - v n - 2 d v - ∫ cotg n - 2 ⁡ u d u

∫ cotg n ⁡ u d u = - v n - 1 n - 1 - ∫ cotg n - 2 ⁡ u d u

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável u , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ cotg n ⁡ u d u = - v n - 1 n - 1 - ∫ cotg n - 2 ⁡ u d u

∫ cotg n ⁡ u d u = - cotg n - 1 ⁡ u n - 1 - ∫ cotg n - 2 ⁡ u d u

Pronto, verificamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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