Verificar a regra da cadeia para a função

z = u^2 - v^2, u = x + 1, v = xy

Passo 1

Nossa expressão do enunciado é da forma :

z x , y =   f u x , y , v x , y

Analisando a expressão acima, vemos que se trata do 2º caso da regra da cadeia, portanto

O primeiro termo que o enunciado nos pede é obtido se derivarmos em relação a x

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

Para calcularmos o outro termos, precisamos derivar em relação a y

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

Passo 2

Agora, vamos calcular cada derivada parcial :

∂ f ∂ u = 2 u

∂ f ∂ v = - 2 v

∂ u ∂ x = 1

∂ v ∂ x = y

∂ u ∂ y = 0

∂ v ∂ y =   x

Passo 3

Substituindo nas nossas expressões

∂ z ∂ x =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ x + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ x

∂ z ∂ x = ( 2 u ) ( 1 ) + ( - 2 v ) ( y )

∂ z ∂ y =   ∂ f ∂ u ∂ u ∂ y + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ y

∂ z ∂ y =   ( 2 u ) ( 0 ) + ( - 2 v ) ( x )

Deixando tudo em função dos parâmetros x e y

∂ z ∂ x = 2 x + 2 + - 2 x y 2

∂ z ∂ y = - 2 x 2 y

Resposta

∂ z ∂ x = 2 x + 2 + - 2 x y 2

∂ z ∂ y = - 2 x 2 y

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