Enunciado

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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.

f) f → = e x i → + 2 e y j → + 3 e z k →

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y , z . Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 f 3

rot ⁡ f → = ∂ 3 e z ∂ y - ∂ 2 e y ∂ z i → + ∂ e x ∂ z - ∂ 3 e z ∂ x j → + ∂ 2 e y ∂ x - ∂ e x ∂ y k →

rot ⁡ f → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + 0 - 0 k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + 0 k →

rot ⁡ f → = 0 →

Podemos observar que rot ⁡ f → = 0 → , portanto o campo vetorial é conservativo em R 3 , e f → admite uma função potencial f x , y , z .

Passo 2

Agora vamos então encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:

∂ f ∂ x = e x ∂ f ∂ y = 2 e y ∂ f ∂ z = 3 e z

Passo 3

Usamos a primeira equação e a integramos em função de x , assim temos:

∂ f = e x ∂ x

f = ∫ e x d x + a y , z

f = e x + a y , z

Agora derivamos a f encontrada em função de y e comparamos com a segunda equação.

∂ f ∂ y = 0 + d a d y

Comparando com a segunda equação temos:

d a d y = 2 e y

Agora integramos d a d y = 2 e y em função de y para encontrarmos a y , z

d a = 2 e y d y

a = ∫ 2 e y d y + b z

a = 2 e y + b z

Temos que f x , y , z = e x + 2 e y + b z

Agora derivamos a f encontrada em função de z e comparamos com a terceira equação.

∂ f ∂ z = 0 + 0 + d b d z

Comparando com a terceira equação temos:

d b d z = 3 e z

Agora integramos d b d z = 3 e z em função de z para encontrarmos b z

d b = 3 e z d z

b = ∫ 3 e z d z

b = 3 e z + c

Assim temos que a função potencia f x , y , z é :

f x , y , z = e x + 2 e y + 3 e z + c

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo vetorial conservativo em R 3 , f → admite uma função potencial f x , y , z .

f x , y , z = e x + 2 e y + 3 e z + c

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