Enunciado

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Verificar se os seguintes campos vetoriais são conservativos em algum domínio. Em caso afirmativo encontrar uma função potencial.

b) f → = 1 + y sen ⁡ x i → + 1 - cos ⁡ x j →

Passo 1

Pelo teorema 6.9 . 3 , se rot ⁡ f → = 0 , podemos afirmar que o campo é conservativo, e que f → admite uma função potencial f x , y .

Vamos então calcular rot ⁡ f → para verificar polo teorema 6.9 . 3 se o campo é conservativo.

Então basta fazermos o seguinte:

rot ⁡ f → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z f 1 f 2 0

rot ⁡ f → = ∂ 0 ∂ y - ∂ 1 - cos ⁡ x ∂ z i → + ∂ 1 + y sen ⁡ x ∂ z - ∂ 0 ∂ x j → + ∂ 1 - cos ⁡ x ∂ x - ∂ 1 + y sen ⁡ x ∂ y k →

rot ⁡ f → = 0 - 0 i → + 0 - 0 j → + sen ⁡ x - sen ⁡ x k →

rot ⁡ f → = 0 i → + 0 j → + 0 k →

rot ⁡ f → = 0 →

Podemos observar que rot ⁡ f → = 0 → , portanto o campo vetorial é conservativo em R 2 e f → admite uma função potencial f x , y .

Passo 2

Agora vamos então encontrar o a função potencial do campo vetorial conservativo. Para isso temos que resolver o seguinte sistema de equações:

∂ f ∂ x = 1 + y sen ⁡ x ∂ f ∂ y = 1 - cos ⁡ x

Passo 3

Usamos a primeira equação e à integramos em função de x , assim temos:

∂ f = ( 1 + y sen ⁡ x ) ∂ x

f = ∫ 1 + y sen ⁡ x d x + a y

f = x - y cos ⁡ x + a y

Agora derivamos a f encontrada em função de y e comparamos com a segunda equação.

∂ f ∂ y = 0 - cos ⁡ x + d a d y

Comparando com a segunda equação temos:

- cos ⁡ x + d a d y = 1 - cos ⁡ x

d a d y = 1

Agora integramos d a d y = 1 para encontrarmos a y .

d a d y = 1

d a = d y

a = ∫ d y

a = y

Assim temos que a função potencia f x , y é :

f x , y = x - y cos ⁡ x + y

Resposta

rot ⁡ f → = 0 →

Campo vetorial conservativo em R 2 , f → admite uma função potencial f x , y .

f x , y = x - y cos ⁡ x + y

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