Verificar se os seguintes limites existem:

c) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y x 3 + y 2

Passo 1

Vamos supor que o limite não existe, assim para provar isso, podemos usar a Proposição 3.2 . 3 .

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) pelo eixo dos x , temos que y = 0 . Logo:

lim x → 0 y = 0 ⁡ x y x 3 + y 2 = lim x → 0 y = 0 ⁡ x 0 x 3 + 0 2 = lim x → 0 ⁡ 0 x 3 = lim x → 0 ⁡ 0 = 0

Se ( x ,   y ) de aproxima de ( 0 ,   0 ) através de pontos da reta y = x . Logo:

lim x → 0 y = x ⁡ x y x 3 + y 2 = lim x → 0 y = x ⁡ x x x 3 + x 2 = lim x → 0 y = x ⁡ x 2 x 2 ( x + 1 ) = lim x → 0 y = x ⁡ 1 x + 1 = 1

Como os resultados são diferentes, temos que pela proposição 3.2 . 3 o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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