4. Verifique que

a)

∫ 1 1 - x 2 d x = a r c s e n x + k ,   - 1 < x < 1

Passo 1

Nossa integral é a seguinte:

I = ∫ 1 1 - x 2 d x

De primeira pode parecer muita mágica, mas com o tempo essa ideia vai se repetir. Vamos lá!

Lá da trigonométrica a gente sabe o seguinte:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

Isolando o cos ⁡ θ :

cos ⁡ θ = 1 - s e n 2 θ

Viu que ficou parecido?! Então vem comigo.

Passo 2

Vamos fazer a seguinte substituição

x = s e n θ , θ ∈ ( - π 2 , π 2 )

Derivando,

d x = cos ⁡ θ d θ

Nossa integral era:

I = ∫ 1 1 - x 2 d x

Usando nossa substituição:

I = ∫ 1 1 - s e n 2 θ cos ⁡ θ d θ

Isto é,

I = ∫ 1 cos 2 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Passo 3

No intervalo ( - π 2 , π 2 ) cos ⁡ θ > 0 . Logo,

I = ∫ 1 cos ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Simplificando:

I = ∫ d θ = θ + k

Agora é só voltarmos para variável x .

x = s e n θ → θ = a r c s e n x

Portanto,

I = a r c s e n x + k

Então tá verificado!

∫ 1 1 - x 2 d x = a r c s e n x + k ,   - 1 < x < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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