Enunciado

(a) Verifique que

f x ,   y = 4 x y ,     s e   0 ≤ x ≤ 1   ,   0 ≤ y ≤ 1 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

é uma função densidade conjunta.

(b) Se X e Y são variáveis aleatórias cuja função densidade conjunta é f da parte (a), determine

(i) P X ≥ 1 2 (ii) P X ≥ 1 2 , Y ≤ 1 2

(c) Determine os valores esperados de X e Y .

Passo 1

(a) Galera, pra f ser realmente uma função densidade conjunta, lembre-se que devemos ter:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = 1

Calculando a integral, obtemos:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 1 2 x   d x ∫ 0 1 2 y d y = x 2 0 1   .   y 2 0 1 = 1   .   1 = 1

Então f é realmente uma função densidade conjunta.

Passo 2

(b) Agora vamos calcular as seguintes probabilidades:

P X ≥ 1 2 = ∫ 1 / 2 1 2 x   d x ∫ 0 1 2 y   d y = x 2 1 / 2 1   .   y 2 0 1 = 1 - 1 4   .   1 = 3 4

P X ≥ 1 2 , Y ≤ 1 2 = ∫ 1 / 2 1 2 x   d x ∫ 0 1 / 2 2 y   d y = x 2 1 / 2 1   .   y 2 0 1 / 2 = 1 - 1 4   . 1 4 = 3 16

Passo 3

(c) Vamos agora calcular E X e E Y , os valores esperados para X e Y , respectivamente:

E X = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ x   f x ,   y   d y   d x = ∫ 0 1 2 x 2   d x ∫ 0 1 2 y d y = 2 x 3 3 0 1   .   y 2 0 1 = 2 3   .   1 = 2 3

E Y = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ y   f x , y   d y   d x = ∫ 0 1 2 x   d x ∫ 0 1 2 y 2 d y = x 2 0 1   .   2 y 3 3 0 1 = 1   . 2 3 = 2 3

Resposta

(b) P X ≥ 1 2 = 3 4                                         P X ≥ 1 2 , Y ≤ 1 2 = 3 16

(c) E X = E Y = 2 3

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