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Verifique que.

d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x

Passo 1

Vamos calcular d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, do produto e do polinômio:

ar c sen ⁡ x ' = 1 1 - x 2

c ' = 0

f x g x ' = f ' x g x + g ' x f x

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos aplicar:

y ' = x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 ' = x 3 3 arcsen ⁡ x ' + x 2 + 2 9 1 - x 2 '

Vamos resolver a primeira derivada:

x 3 3 arcsen ⁡ x ' = f ' x g x + g ' x f x = x 3 3 ' arcsen ⁡ x + arcsen ⁡ x ' x 3 3 = 3 x 3 - 1 3 arcsen ⁡ x + 1 1 - x 2 x 3 3 = x 2 arcsen ⁡ x + x 3 3 1 - x 2

Agora a segunda:

x 2 + 2 9 1 - x 2 ' = f ' x g x + g ' x f x = x 2 + 2 9 ' 1 - x 2 + 1 - x 2 ' x 2 + 2 9 = 2 x 2 - 1 + 0 9 1 - x 2 + 1 2 1 - x 2 1 2 - 1 1 - x 2 ' x 2 + 2 9 = 2 x 9 1 - x 2 + 1 2 1 - x 2 - 1 2 0 - 2 x 2 - 1 x 2 + 2 9 = 2 x 1 - x 2 9 + 1 2 1 - x 2 - 2 x x 2 + 2 9 = 2 x 1 - x 2 9 - x x 2 + 2 9 1 - x 2 = 2 x 1 - x 2 1 - x 2 - x x 2 + 2 9 1 - x 2 = 2 x 1 - x 2 - x 3 - 2 x 9 1 - x 2 = 2 x - 2 x 3 - x 3 - 2 x 9 1 - x 2 = - 3 x 3 9 1 - x 2 = - x 3 3 1 - x 2

Passo 3

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = x 3 3 arcsen ⁡ x ' + x 2 + 2 9 1 - x 2 ' = x 2 arcsen ⁡ x + x 3 3 1 - x 2 + - x 3 3 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x

Assim:

d d x x 3 3 arcsen ⁡ x + x 2 + 2 9 1 - x 2 = x 2 arcsen ⁡ x

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