Enunciado

Verifique se a conclusão do Teorema de Clairut é válida, isto é, u x y = u y x .

u = e x y   s e n   y

Passo 1

A questão pede para você verificar se é possível inverter a ordem das derivadas mistas. Para isso, vamos calcular essas derivadas e compará-las!

A primeira derivada com relação a x é

u x = e x y   s e n   y ⋅ ∂ ∂ x x y = y   e x y   s e n   y

Com relação a y :

u y = x   e x y   s e n   y + e x y cos ⁡ y

Passo 2

Como queremos as derivadas mistas, vamos derivar u x com relação a y :

u x y = 1 ⋅ e x y   s e n   y + y   x   e x y   s e n   y + e x y cos ⁡ y = e x y   s e n   y + x y   e x y s e n   y + y e x y cos ⁡ y

Derivando u y com relação a x :

u y x = e x y   s e n   y + x   e x y   y   s e n   y + y   e x y cos ⁡ y

Vemos que de fato

u x y = u y x

Vale o Teorema de Clairut!

Resposta

Sim

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