Enunciado

Verifique se a conclusão do Teorema de Clairut é válida, isto é, u x y = u y x .

u = ln ⁡ ( x + 2 y )

Passo 1

A questão pede para você verificar se é possível inverter a ordem das derivadas mistas. Para isso, vamos calcular essas derivadas e compará-las!

A primeira derivada com relação a x é

u x = 1 x + 2 y ⋅ 1 = 1 x + 2 y = x + 2 y - 1

Com relação a y :

u y = 1 x + 2 y ⋅ 2 = 2   x + 2 y - 1

Passo 2

Como queremos as derivadas mistas, vamos derivar u x com relação a y :

u x y = - x + 2 y - 2 ⋅ 2 = - 2 x + 2 y 2

Derivando u y com relação a x :

u y x = - 2 x + 2 y - 2 ⋅ 1 = - 2 x + 2 y 2

Vemos que de fato

u x y = u y x

Vale o Teorema de Clairut!

Resposta

Sim

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Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem: w = u 2 + v 2