Enunciado

Verifique que I m f sub D_g e determine a composta h (x) = g (f (x)) .

g (x) = (x + 1)/(x - 2) e f (x) = (2 x + 1)/(x - 1)

Passo 1

Temos que verificar que a imagem de F ( x ) é do mesmo conjunto do Dominio de g ( x )

Priemeiro vamos verificar F

f (x) = (2 x + 1)/(x - 1)

Se chamarmos f (x) = y

y = (2 x + 1)/(x - 1)

y (x - 1) = 2 x + 1

x (y - 2) = 1 + y

x = (1 + y)/(y - 2)

Então a Imagem de y está nos reais exceto em

y = 2

A imagem de f é:

I m_f = (- oo , 2) uuu (2 , + oo)

Agora o dominio de g

g (x) = (x + 1)/(x - 2)

Para essa função não explodir para o infinito nosso x tem que ser diferente de 2.

x != 2

Assim, o domínio de g é

D_g = (- oo , 2) uuu (2 , + oo)

Então temos que:

I m f sub D_g

Passo 2

Para fazer a composição vemos a onde está nossa variavel ( x ) e vamos substituir por nossa outra função. Neste caso a f ( x ) .Então, a composta é dada por:

h (x) = g (f (x)) = (f (x) + 1)/(f (x) - 2)

= ((2 x + 1)/(x - 1) + 1)/((2 x + 1)/(x - 1) - 2)

= ((2 x + 1)/(x - 1) + (x - 1)/(x - 1))/((2 x + 1)/(x - 1) - (2 (x - 1))/(x - 1))

= ((2 x + 1 + x - 1)/(x - 1))/((2 x + 1 - 2 (x - 1))/(x - 1))

= (2 x + 1 + x - 1)/(2 x + 1 - 2 x + 2)

= (3 x)/(3)

h (x) = x

Terminamos por aqui, não há truques para fazer composições, é só plotar os valores dentro da outra função e ver uma forma mais limpa de organizar sua função. Te vejo no próximo exercício ; )

Resposta

h (x) = x

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