Verifique que Im f ⊂ D_g e determine a composta h(x) = g(f(x)) .

g(x) = (x + 1) / (x - 2) e f(x) = (2x + 1) / (x - 1)

Passo 1

Temos que verificar que a imagem de F ( x ) é do mesmo conjunto do Dominio de g ( x )

Priemeiro vamos verificar F

f x = 2 x + 1 x - 1

Se chamarmos f x = y

y = 2 x + 1 x - 1

y x - 1 =   2 x + 1

x   y - 2 = 1 + y

x = 1 + y y - 2  

Então a Imagem de y está nos reais exceto em

y = 2

A imagem de f é:

I m f = - ∞ , 2 ⋃ 2 , + ∞

Agora o dominio de g

g x = x + 1 x - 2

Para essa função não explodir para o infinito nosso x tem que ser diferente de 2.

x ≠ 2

Assim, o domínio de g é

D g = - ∞ , 2 ⋃ 2 , + ∞

Então temos que:

I m   f   ⊂ D g

Passo 2

Para fazer a composição vemos a onde está nossa variavel ( x ) e vamos substituir por nossa outra função. Neste caso a f ( x ) .Então, a composta é dada por:

h x = g f x = f x + 1 f x - 2

= 2 x + 1 x - 1 + 1 2 x + 1 x - 1 - 2

= 2 x + 1 x - 1 + x - 1 x - 1 2 x + 1 x - 1 - 2 x - 1 x - 1

=   2 x + 1 + x - 1 x - 1 2 x + 1 - 2 x - 1 x - 1

= 2 x + 1 + x - 1 2 x + 1 - 2 x + 2

= 3 x 3

h x = x

Terminamos por aqui, não há truques para fazer composições, é só plotar os valores dentro da outra função e ver uma forma mais limpa de organizar sua função. Te vejo no próximo exercício ; )

Resposta

h x = x

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