Enunciado

É dado o gráfico de f .

  1. Por que f é um a um?
  2. Determine o domínio e a imagem de f - 1
  3. Estime o valor de f - 1 ( 1 )

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vamos resolver juntos mais uma atividade. Hoje iremos falar sobre funções um a um.

A função um a um (ou função bijetiva) é uma função em que cada elemento do domínio está relacionado a um único elemento do contradomínio e cada elemento do contradomínio está relacionado a um único elemento do domínio. Em outras palavras, não há repetição nos elementos associados.

Para identificar graficamente se uma função é uma função um a um, você pode usar o teste da linha horizontal:

1. Desenhe o gráfico da função.

2. Trace uma linha horizontal em todo o gráfico.

3. Veja se a linha horizontal cruza o gráfico em mais de um ponto em qualquer lugar.

Se a linha horizontal cruzar o gráfico em mais de um ponto em qualquer lugar, então a função não é uma função um a um.

Se a linha horizontal cruzar o gráfico em apenas um ponto em todos os lugares, então a função é uma função um a um.

Passo 2

Letra a)

Se criarmos linhas horizontais no gráfico dessa função, vamos notar que os gráficos só tocam a função em um ponto de cada vez. Sendo assim, temos aqui uma função um a um.

Letra b)

O domínio é o conjunto de todos os valores de x que nossa função aceita. Já a imagem é o conjunto de todos os valores de y que nossa função nos leva a partir entradas x . Quando falamos de domínio e imagem de uma função inversa, deveremos trocar quem é o domínio e a imagem da função f .

Para a função dada e no intervalo dado vamos ter que a função inversa vai ter [ - 2,2 ] como domínio e a imagem vai ser dada por - 3,3 .

Passo 3

Letra c)

Por fim, para estimarmos o valor de f - 1 ( 1 ) tomemos o seguinte raciocínio

Se

f - 1 y = x

então

f x = y

Para o nosso caso, vamos ter

f - 2 = 1

f - 1 1 = - 2

Resposta

( a ) Nossa função é um a um porque atende ao teste da linha horizontal, ou seja, nenhuma reta horizontal que você pegar vai tocar em dois pontos.

( b ) [ - 2,2 ] como domínio e a imagem vai ser dada por - 3,3 .

( c ) f - 1 1 = - 2

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