Verifique que Im f ⊂ D_g e determine a composta h(x) = g(f(x)) .

g(x) = (x + 1) / (x - 1) e f(x) = x / (x + 1)

Passo 1

Temos que verificar que a imagem de F ( x ) é do mesmo conjunto do Dominio de g ( x )

Priemeiro vamos verificar F

f x = x x + 1

Se chamarmos f x = y

y =   x x + 1  

y   x + 1 = x

x     y - 1 =   - y

x =   - y y - 1

Então a imagem de f x existe em todos os Reais, exceto onde

F x = 1

Assim a imagem de f   é:

I m f = - ∞ , 1   ⋃   1 , + ∞

Vamos ver o dominio de g

g x = x + 1 x - 1

Para essa função não explodir para o infinito nosso x tem que er diferente de 1

x   ≠ 1

Assim o domínio de g é

D g = - ∞ , 1   ⋃   1 , + ∞

Então temos que:

I m   f   ⊂ D g

Passo 2

Para fazer a composição vemos a onde está nossa variavel ( x ) e vamos substituir por nossa outra função. Neste caso a f ( x ) .Então, a composta é dada por:

h x = g f x = f x + 1 f x - 1 = x x + 1 + 1 x x + 1 - 1

= x x + 1 + x + 1 x + 1 x x + 1 - x + 1 x + 1

= x + x + 1 x + 1 x - x + 1 x + 1

= 2 x + 1 x + 1 - 1 x + 1

h x = 2 x + 1 - 1 = - 2 x - 1

h x = - 2 x - 1

Terminamos por aqui, não há truques para fazer composições, é só plotar os valores dentro da outra função e ver uma forma mais limpa de organizar sua função. Te vejo no próximo exercício ; )

Resposta

h x = - 2 x - 1

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