Enunciado

Verifique se a forma diferencial dada é exata. Justifique.

h )   - y x 2 + y 2   d x + x x 2 + y 2 d y ,   y > 0

Passo 1

Pra ser exata, a gente tem uma condição necessária pra satisfazer, sendo P o termo que acompanha d x e Q o que acompanha d y :

∂ P ∂ y = ∂ Q ∂ x

Vamos verificar isso então:

- 1 x 2 + y 2 - 2 y ( - y ) x 2 + y 2 2 = 1 x 2 + y 2 - 2 x ( x ) x 2 + y 2 2

- x 2 - y 2 + 2 y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 - 2 x 2 x 2 + y 2 2

= y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Bom, então aqui tá ok, a condição necessária foi satisfeita. Vamos achar a primitiva dessa função agora.

Passo 2

Integrando cada termo em relação a variável d x   a   g e n t e   i n t e g r a   e m   x ,   e   a s s i m   p o r   d i a n t e a gente vai ter:

φ x , y = ∫ - y x 2 + y 2     d x = - a r c t g x y + A ( y )

φ x , y = ∫ x x 2 + y 2     d y = - a r c t g x y + B ( x )

(porque y > 0 )

(aqui é o mesmo procedimento do campo conservativo)

Uma função que se encaixa nessas igualdades é:

φ x , y = - a r c t g x y

Então, como a função do exercício admite essa função como primitiva, ela é exata.

Resposta

É exata.

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