Enunciado

1. Verifique que a função dada é diferenciável.

d)

f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Passo 1

É o seguinte, para f ( x , y ) ser diferenciável, basta provarmos que a ela tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas no domínio da função.

f x , y = ln ⁡ 1 + x 2 + y 2

Nesse caso, vamos ter que usar a regra do produto, então vamos com mais calma. Derivando em relação a x :

∂ f ∂ x = 1 1 + x 2 + y 2 × 2 x

Isto é,

∂ f ∂ x = 2 x 1 + x 2 + y 2

O denominador é sempre maior ou igual a 1. Olha só:

x 2 + y 2 ≥ 0

Logo,

1 + x 2 + y 2 ≥ 1

Então, ∂ f ∂ x é continua em todo R 2 ,

Passo 2

Agora vamos ver em relação a y :

∂ f ∂ y = 1 1 + x 2 + y 2 × 2 y

Assim,

∂ f ∂ y = 2 y 1 + x 2 + y 2

Como ∂ f ∂ y também é contínua em todo R 2 , podemos concluir que f é diferenciável em todo R 2 .Portanto, f é diferenciável.

Resposta

Como ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ x são contínuas em todo R 2 , podemos concluir que f é diferenciável.

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Usando a definição, verificar que as funções dadas são diferenciáveis em R 2 :b) f x , y = 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:h) f x , y = arctan ⁡ 2 x y
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:e) z = s e n 2 x y x 2 + y 2
Identifique a região de R 2 onde as funções dadas são diferenciáveis:f) f x , y = e x 2 - y 2
Verificar se as funções dadas são diferenciáveis na origem:e) f x , y = 1 x 2 + y 2 , ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) 0 ,x , y = ( 0,0 )