Enunciado

Verifique se a função satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio:

f x = x 3 + x - 1 ,   [ 0,2 ]

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos testar se a função dada satisfaz as hipóteses do TVM dentro do intervalo que nos foi dado.

O TVM pode ser aplicado a uma função f ( x ) no intervalo [ a , b ] se:

  1. f é continua em a , b
  2. f é diferenciavel em ( a , b )

E f é contínua em [ 0,2 ] e derivável em ( 0,2 ) porque os polinômios são deriváveis e contínuos em R .

Passo 2

Derivando:

f ' c = 3 c ² + 1

Deveremos encontrar todos os valores c , tal que:

f ' c = f b - f a b - a

= f 2 - f 0 2 - 0

= 9 - - 1 2

= 5

Igualando a f ' c = 3 c ² + 1

3 c 2 + 1 = 5

3 c 2 = 4

c 2 = 4 3

c = ± 2 3

c = 2 / 3 , pois a raiz negativa não satisfaz o intervalo ( 0,2 ) .

Resposta

A função satisfaz às hipóteses do Teorema do Valor Médio e o número c que satisfaz à conclusão é c = 2 3 .

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