Enunciado

Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle.

f ( x ) = x 2 - 4 x + 1 , [ 0,4 ]

Passo 1

Essa é uma questão para testarmos a validade do Teorema de Rolle, que basicamente diz que: se (i) a função for contínua num intervalo fechado [ a , b ] ; (ii) se ela for derivável no aberto ( a , b ) ; (iii) se f ( a ) = f ( b ) (ela ter os mesmos valores nos extremos do intervalo), então deve existir um número c dentro do intervalo ( a , b ) onde a derivada se anula ( f ' ( c ) = 0 ) .

O que precisamos fazer é verificar que a função dada satisfaz as três hipóteses mencionadas acima e daí tentar encontrar os pontos em que a derivada da função se anula.

Passo 2

Bom, como a função é um polinômio, ela é contínua e derivável em toda parte, de modo que as duas primeiras condições são automaticamente satisfeitas. Além disso, note que f ( 0 ) = 1 e f ( 4 ) = 4 2 - 4 ⋅ 4 + 1 = 16 - 16 + 1 = 1 . Então, como f ( 0 ) = f ( 4 ) , a terceira hipótese também é satisfeita: assim, o Teorema de Rolle é válido!!!

Passo 3

Agora que já sabemos que o teorema é válido, vamos tentar achar os pontos que anulam a derivada. Derivando a função, obtemos

f ' ( x ) = 2 x - 4

Assim, tomando f ' ( c ) = 0 , vemos que c = 2 . Note que esse ponto está dentro do intervalo. Portanto existe algum c dentro do intervalo tal que f ' ( c ) = 0 , que é exatamente o que o teorema diz.

Resposta

c = 2

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