Enunciado

Use o Teorema do Valor Médio para provar o resultado seguinte: Seja f uma função continua em x 0 e suponha que exista lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) . Então f é diferenciável em x 0 e

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x )

[Sugestão: a derivada de f ' x 0 é dada por

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f x - f ( x 0 ) x - x 0

Desde que o limite exista.]

Passo 1

Aqui, consideramos que temos uma função f , contínua em x 0 . Suponha que o lim x → x 0 ⁡ f ' ( x ) exista, Vamos considerar um intervalo de ( x 0 - δ ,   x 0 + δ ) . A definição de uma derivada em um intervalo é :

f ' x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f ( x ) x + ∆ x - x

( ∆ x → 0 é análogo a ∆ x + x → x )

Por consequência f ' x 1 = lim x → x 1 ⁡ f ' ( x ) .

Agora, aplicaremos o Teorema do Valor médio no intervalo ( x 0 - δ ,   x 0 + δ ) .

Quando temos c ∈ ( x 0 - δ ,   x 0 + δ ) de modo que:

f ' c = lim δ → 0 ⁡ f x 0 + δ - f ( x 0 - δ ) 2 δ

Agora, no intervalo δ → 0 : c →   x 0 e x →   x 0 :

f ' x 0 = lim x → x 0 ⁡ f ' ( x )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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