Enunciado

Verifique se as hipóteses do teorema do valor médio estão satisfeitas para a função dada no intervalo indicado. Então, ache um valor adequado de c que satisfaça as conclusões do teorema do valor médio. Faça um esboço do gráfico de f no intervalo e utilize-o para dar a interpretação geométrica desse teorema.

f x =   x 3 ; [ - 2 ,   2 ]

Passo 1

Como em f é uma função polinomial, ela é continua derivável em qualquer intervalo de números reais. Em particular, é contínua em [ - 2 ,   2 ] e derivável em ( - 2 ,   2 ) .

Passo 2

Assim f satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio. Logo, existe c ∈ ( - 2 ,   2 ) tal que:

f ' c = f 2 - f - 2 2 - - 2 ⇒

f ' c = 2 3 - - 2 3 2 + 2 ⇒

f ' c = 8 - - 8 4 ⇒

f ' c = 16 4 ⇒

f ' c = 4

Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 3 x 2

Assim, f ' c = 3 c 2 . Logo:

3 c 2 = 4 ⇒

c 2 = 4 3 ⇒

c = ± 4 3 ⇒

c = ± 2 3 ⇒

c = ± 2 3 3

Passo 3

Assim, a reta que passa por 2 3 3 ,   f 2 3 3 = 2 3 3 , 8 3 9 tem inclinação 4 e sua equação será:

y - 8 3 9 = 4 x - 2 3 3 ⇒

y - 8 3 9 = 4 x - 8 3 3 ⇒

y = 4 x - 8 3 3 + 8 3 9 ⇒

y = 4 x - 1 6 3 9

E a reta que passa por - 2 3 3 ,   f - 2 3 3 = - 2 3 3 , - 8 3 9 tem inclinação 4 e sua equação será:

y - - 8 3 9 = 4 x - - 2 3 3 ⇒

y + 8 3 9 = 4 x + 8 3 3 ⇒

y = 4 x + 8 3 3 - 8 3 9 ⇒

y = 4 x + 16 3 9

Resposta

Portanto, o gráfico de f x = x 3 no intervalo [ - 2 ,   2 ] e da reta tangente a f no ponto 2 3 3 , 8 3 9 e - 2 3 3 , - 8 3 9 , têm esboço:

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