Enunciado

Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f x = x - 1 x ; 3 , 4

Passo 1

As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:

Como não existem “partes quebradas” na função, ou seja, ao desenhar essa função, não precisamos tirar o “lápis do papel”, podemos dizer que ela é contínua (e fica aí essa dica). Além disso, no intervalo aberto 3 , 4 não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: f ' x = 1 + 1 x 2 , vemos que ela está definida para todos os valores de x dentro do intervalo dado 3 , 4 .

Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.

Passo 2

Segundo o Teorema do Valor Médio, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio c em que f ' c = f b - f a b - a , ou seja, queremos que a reta tangente à função nesse ponto c seja paralela à reta que passa entre os pontos a e b . Portanto, a derivada da função no ponto c deve ser igual à da reta que passa por a e b .

Como a = 3 , f 3 = 8 3 , b = 4 e f 4 = 15 4 . Vamos achar a reta que passe pelos pontos ( 3 , 8 3 ) e ( 4 , 15 4 ) . A equação da reta será:

y = a x + b

Substituindo os pontos:

8 3 = 3 a + b

E

15 4 = 4 a + b

Resolvendo o sistema, achamos que:

a = 13 12

E

b = - 7 1 2

Logo, nossa reta será:

y = 13 12 x - 7 12

Passo 3

Agora, queremos que as derivadas da função e da reta sejam iguais, ou seja:

1 + 1 x 2 = 1 3 1 2

1 x 2 = 1 12

x 2 = 12

x = ± 2 3

Pronto, esses pontos estão no intervalo dado e a derivada neles é igual à derivada da reta que passa pelos pontos no extremo, então esses são os nossos caras!

c = ± 2 3

Resposta

c = ± 2 3

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