Enunciado

Em cada parte, determine se todas as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão verificadas no intervalo dado. Caso não estejam, indique quais hipóteses estão falhando; se estiverem, encontre todos os valores de c garantidos na conclusão do teorema.

(a) f x = | x - 1 | em [ - 2,2 ]

Passo 1

As hipóteses do Teorema do Valor Médio são:

- f contínua no intervalo [ a , b ]

- f   diferenciável em ( a , b )

Se elas forem atendidas, a gente diz que há pelo menos um c , tal que:

f ' c = f b - f a b - a

Vamos avaliar a função e o intervalo que ele deu com base nessas informações aí. Vem comigo!

Passo 2

A primeira coisa é ver se a função é contínua no intervalo. Essa função é definida como:

f x = x - 1 ,     x ≥ 1 - x + 1 ,     x < 1

Precisamos verificar a continuidade no ponto x = 1 :

lim x → 1 - ⁡ - x + 1 = 0

lim x → 1 + ⁡ x - 1 = 0

f 1 = - 1 + 1 = 0

Como todos esses valores são iguais, a função é contínua.

Passo 3

Agora repara que para valores próximos de 1 mas menores que 1 , a derivada fica:

lim x → 1 - ⁡ f ' x = - 1

Mas para valores maiores que 1 :

lim x → 1 + ⁡ f ' x = 1

Isso mostra que a derivada da nossa função não é contínua em x = 1 , porque os limites laterais dela deram valores diferentes.

Sendo assim, nossa função não é diferenciável no intervalo ( - 2,2 ) . E isso quebra a segunda hipótese.

Resposta

Falta uma hipótese. f não é diferenciável no intervalo aberto dado.

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