Enunciado

Verifique as identidades.

x^n - a^n = (x - a) (x^(n - 1) + a x^(n - 2) + a^2 x^(n - 3) + ... + a^(n - 2) x + a^(n - 1)) onde n != 0 é um natural

Passo 1

Fala, galera. Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar a identidade:

x^n - a^n = (x - a) (x^(n - 1) + a x^(n - 2) + a^2 x^(n - 3) + ... + a^(n - 2) x + a^(n - 1))

onde n != 0 é um natural.

Então, o que a gente tem que fazer é provar que essa igualdade é verdadeira. Repare que ela é uma expressão que pode ser resultado de uma divisão. Isso porque uma divisão na forma:

Onde P (x) é o dividendo, G (x) é o divisor, D (x) é o quociente e R (x) é o resto. Pode ser escrita como um produto na forma:

d i v i d e n d o = q u o c i e n t e xx d i v i s o r + r e s t o

Então, vamos dividir x^n - a^n por ( x - a ) e verificar se o quociente e o resto da divisão nos permitem chegar na relação que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Montando a nossa divisão:

Para fazer essa conta, iniciamos dividindo o primeiro termo do dividendo, x^n , pelo primeiro termo do divisor, x :

Agora pegamos o resultado, x^(n - 1) , e multiplicamos por todo o divisor, x - a . Daí, subtraímos do dividendo, x^n - a^n . Fica assim:

Mas a ideia aqui é chegar no menor grau possível! Então é só repetir esse processo com o resto, a x^(n - 1) - a^n , até que o resto tenha grau menor que o divisor!

Passo 3

Repetindo o processo, teremos:

Dividindo novamente:

E mais uma vez:

Por fim, chegamos ao resultado da divisão com o resto zero:

Passo 4

Pronto, agora vamos transformar isso em uma expressão! Uma forma de escrever essa conta que fizemos é:

d i v i d e n d o = (q u o c i e n t e xx d i v i s o r) + r e s t o

E pelas contas acima temos:

Dividendo = x^n - a^n

Quociente = x^(n - 1) + a x^(n - 2) + a^2 x^(n - 3) + ... + a^(n - 2) x + a^(n - 1)

Divisor = x - a

Resto = 0

Assim ficamos com:

x^n - a^n = (x - a) (x^(n - 1) + a x^(n - 2) + a^2 x^(n - 3) + ... + a^(n - 2) x + a^(n - 1)) + 0

x^n - a^n = (x - a) (x^(n - 1) + a x^(n - 2) + a^2 x^(n - 3) + ... + a^(n - 2) x + a^(n - 1))

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x^n - a^n = (x - a) (x^(n - 1) + a x^(n - 2) + a^2 x^(n - 3) + ... + a^(n - 2) x + a^(n - 1))

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