Verifique as identidades.

x^n - a^n = (x - a)(x^(n-1) + a\*x^(n-2) + a^2\*x^(n-3) + … + a^(n-2)\*x + a^(n-1)) onde n != 0 é um natural

Passo 1

Fala, galera. Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente verificar a identidade:

x n - a n = x - a x n - 1 + a x n - 2 + a 2 x n - 3 + … + a n - 2 x + a n - 1

onde n ≠ 0 é um natural.

Então, o que a gente tem que fazer é provar que essa igualdade é verdadeira. Repare que ela é uma expressão que pode ser resultado de uma divisão. Isso porque uma divisão na forma:

Onde P x é o dividendo, G x é o divisor, D x é o quociente e R x é o resto. Pode ser escrita como um produto na forma:

d i v i d e n d o = q u o c i e n t e   × d i v i s o r + r e s t o

Então, vamos dividir x n - a n por ( x - a ) e verificar se o quociente e o resto da divisão nos permitem chegar na relação que o enunciado nos deu.

Vamos lá!

Passo 2

Montando a nossa divisão:

Para fazer essa conta, iniciamos dividindo o primeiro termo do dividendo, x n , pelo primeiro termo do divisor, x :

Agora pegamos o resultado, x n - 1 , e multiplicamos por todo o divisor, x - a . Daí, subtraímos do dividendo, x n - a n . Fica assim:

Mas a ideia aqui é chegar no menor grau possível! Então é só repetir esse processo com o resto, a x n - 1 - a n , até que o resto tenha grau menor que o divisor!

Passo 3

Repetindo o processo, teremos:

Dividindo novamente:

E mais uma vez:

Por fim, chegamos ao resultado da divisão com o resto zero:

Passo 4

Pronto, agora vamos transformar isso em uma expressão! Uma forma de escrever essa conta que fizemos é:

d i v i d e n d o = q u o c i e n t e   × d i v i s o r + r e s t o

E pelas contas acima temos:

Dividendo = x n - a n

Quociente = x n - 1 + a x n - 2 + a 2 x n - 3 + … + a n - 2 x + a n - 1

Divisor = x - a

Resto = 0

Assim ficamos com:

x n - a n = x - a x n - 1 + a x n - 2 + a 2 x n - 3 + … + a n - 2 x + a n - 1 + 0

x n - a n = x - a x n - 1 + a x n - 2 + a 2 x n - 3 + … + a n - 2 x + a n - 1

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x n - a n = x - a x n - 1 + a x n - 2 + a 2 x n - 3 + … + a n - 2 x + a n - 1

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