Enunciado

Prove que existe delta > 0 tal que

1 - delta < x < 1 + delta ⟹ 2 - (1)/(3) < x^2 + x < 2 + (1)/(3)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente que existe um número positivo delta , tal que se 1 - delta < x < 1 + delta , então:

2 - (1)/(3) < x^2 + x < 2 + (1)/(3)

Pra provar isso, vamos dar uma olhada na definição precisa de limite. Temos que:

underset(x -> a)(lim) f (x) = L

se para todo número epsilon > 0 houver um número delta > 0 tal que se a - delta < x < a + delta então:

L - epsilon < f (x) < L + epsilon

Assim, vamos comparar essa definição com os dados que o enunciado nos deu, para partir da condição 1 - delta < x < 1 + delta e chegar na relação 2 - (1)/(3) < x^2 + x < 2 + (1)/(3) .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos supor que delta > 0 , e vamos extrair essas informações:

a = 1 , f (x) = x^2 + x , L = 2 e epsilon = (1)/(3)

Vamos calcular o limite e ver se ele é igual a L = 2 :

underset(x -> 1)(lim) x^2 + x = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Pronto, temos que underset(x -> 1)(lim) x^2 + x = 2 = L , e pela definição nossa suposição está correta.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o n o s p a s s o s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Use o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê . lim x → 2 - ⁡ f x (b) lim x → 2 + ⁡ f x (c) lim x → 2 ⁡ f x (d) f 2 (e) lim x → 4 ⁡ f
Determine o limite infinito.underset(x - - 3^+)(lim) (x + 2)/(x + 3)
Determine o limite infinito. lim x → - 3 - ⁡ x + 2 x + 3
Calcule o limite e justifique cada passagem indicando a propriedade apropriada dos limites.30. lim x → - ∞ ⁡ x 3 - 2 x + 3 5 - 2 x 2
Seja f x = x - x a ) Esboce o gráfico de f . b ) Se n for um inteiro, calcule i lim x → n - ⁡ f ( x ) , i i lim x → n + ⁡ f ( x ) ⁡ c ) Para quais valores de a existe lim x → a ⁡ [ x ] Onde [ x ] deno