Enunciado

Divida x^3 - a^3 por x - a e conclua que x^3 - a^3 = (x - a) (x^2 + a x + a^2) .

Passo 1

Fala, galera. Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente dividir o polinômio x^3 - a^3 pelo outro polinômio x - a e concluir que o resultado seja a expressão:

x^3 - a^3 = (x - a) (x^2 + a x + a^2)

Pra isso, precisamos lembrar que a divisão de polinômio pode ser dada da seguinte maneira:

Onde P (x) é o dividendo, G (x) é o divisor, D (x) é o quociente e R (x) é o resto. No nosso caso, temos P (x) = x^3 - a^3 como dividendo, G (x) = x - a como divisor, D ( x ) como quociente e R ( x ) como resto, que nós vamos descobrir.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar montando nossa divisão:

Dividindo o primeiro termo do dividendo x^3 pelo primeiro termo do divisor x , temos:

Agora pegamos o resultado e multiplicamos com todo o divisor. Em seguida, pegamos o resultado da multiplicação, termo a termo, e trocamos o sinal, somamos com o dividendo. Veja como fica:

Pronto, agora é só repetir esse processo até que o resto tenha grau menor que o divisor. Vamos lá, dividindo a^2 x por x , temos a x , então vamos somar a x com x^2 ali no quociente:

Fazendo mais uma última vez:

Passo 3

Pronto, agora vamos transformar isso em uma expressão. Sabemos que:

d i v i d e n d o = q u o c i e n t e xx d i v i s o r + r e s t o

E temos que:

Dividendo = x^3 - a^3

Quociente = x^2 + a x + a^2

Divisor = x - a

Resto = 0

Assim ficamos com:

x^3 - a^3 = (x - a) (x^2 + a x + a^2) + 0

x^3 - a^3 = (x - a) (x^2 + a x + a^2)

Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

x^3 - a^3 = (x - a) (x^2 + a x + a^2)

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