9. Seja u(x, t) = A sen(aλt + φ) sen λx , com A , a , lambda e phi constantes. Verifique que

(∂^2 u / ∂ t^2) = a^2 (∂^2 u / ∂ x^2) .

Passo 1

Primeiramente vamos calcular ∂ 2 u ∂ t 2 .

Lembrando que ∂ 2 u ∂ t 2 = ∂ ∂ t ( ∂ u ∂ t ) , vamos fazer aos poucos e calcular a derivada primeira.

Para não enrolar, vamos fazer algumas pequena mudanças de variáveis.

Chamaremos e já calcularemos sua respectivas derivadas:

v x , t = s e n a λ t + φ . Aplicando a regra da cadeia, ∂ v x , t ∂ t = a λ   c o s ⁡ ( a λ t + φ ) .

w x , t = s e n   λ x → ∂ w x , t ∂ t = 0

Ficamos, assim, com:

u x , t = A   v x , t w ( x , t )

Aplicando a regra do produto:

∂ u x , t ∂ t = A ( ∂ v x , t ∂ t   w x , t +   v x , t ∂ w x , t ∂ t )

Substituindo, ficamos com:

∂ u x , t ∂ t = A ( a λ   c o s ⁡ ( a λ t + φ )   s e n   λ x +   s e n a λ t + φ 0 )

∂ u x , t ∂ t = A a λ cos ⁡ a λ t + φ s e n   λ x

Chamando, agora, e calculando sua derivada:

k = cos ⁡ a λ t + φ → ∂ k x , t ∂ t = a λ - s e n a λ t + φ → ∂ k x , t ∂ t = - a λ s e n a λ t + φ

Ficamos, agora, com:

∂ u x , t ∂ t = A a λ   k x , t w ( x , t )

Calculando, por fim, nesse passo:

∂ ∂ t ∂ u ∂ t = A a λ ( ∂ k x , t ∂ t   w x , t +   k x , t ∂ w x , t ∂ t )

Substituindo, ficamos com:

∂ ∂ t ∂ u ∂ t = A a λ ( ( - a λ s e n a λ t + φ ) s e n   λ x   + cos ⁡ a λ t + φ 0 )

Ou seja:

∂ 2 u ∂ t 2 = - A a 2 λ 2 s e n a λ t + φ s e n   λ x   (i)

Passo 2

Agora vamos calcular ∂ 2 u ∂ x 2 .

Faremos as mesmas mudanças de variáveis usadas acima, porém prestando atenção porque agora a derivada é em x.

v x , t = s e n a λ t + φ . Aplicando a regra da cadeia, ∂ v x , t ∂ x = 0 .

w x , t = s e n   λ x → ∂ w x , t ∂ t = λ cos ⁡ λ x

Ficamos, assim, com:

u x , t = A   v x , t w ( x , t )

Aplicando a regra do produto:

∂ u x , t ∂ x = A ( ∂ v x , t ∂ x   w x , t +   v x , t ∂ w x , t ∂ x )

Substituindo, ficamos com:

∂ u x , t ∂ x = A ( 0   s e n   λ x +   s e n a λ t + φ λ cos ⁡ λ x )

∂ u x , t ∂ x = A λ   s e n a λ t + φ cos ⁡ λ x

Mudando as variáveis e calculando suas derivadas:

v x , t = s e n a λ t + φ → ∂ v x , t ∂ x = 0

m x , t = cos ⁡ λ x → ∂ m x , t ∂ x = λ - s e n   λ x → ∂ m x , t ∂ x = - λ s e n   λ x

Ficamos, agora, com:

∂ u x , t ∂ x = A λ   v x , t m ( x , t )

Calculando, por fim, nesse passo:

∂ ∂ t ∂ u ∂ t = A λ ( ∂ v x , t ∂ x   m x , t +   v x , t ∂ m x , t ∂ x )

Substituindo, ficamos com:

∂ ∂ t ∂ u ∂ t = A λ ( 0   cos ⁡ λ x   + s e n a λ t + φ ( - λ s e n   λ x ) )

Ou seja:

∂ 2 u ∂ t 2 = - A λ 2 s e n a λ t + φ s e n   λ x (ii)

Resposta

Comparando (i) e (ii), verificamos que

∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 u ∂ x 2 .

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