Enunciado

9. Seja u (x , t) = A s e n (a lambda t + phi) s e n lambda x , com A , a , lambda e phi constantes. Verifique que

(del^2 u)/(del t^2) = a^2 (del^2 u)/(del x^2) .

Passo 1

Primeiramente vamos calcular (del^2 u)/(del t^2) .

Lembrando que (del^2 u)/(del t^2) = (del)/(del t) ( (del u)/(del t) ) , vamos fazer aos poucos e calcular a derivada primeira.

Para não enrolar, vamos fazer algumas pequena mudanças de variáveis.

Chamaremos e já calcularemos sua respectivas derivadas:

v (x , t) = s e n (a lambda t + phi) . Aplicando a regra da cadeia, (del v (x , t))/(del t) = a lambda c o s ( a lambda t + phi ) .

w (x , t) = s e n lambda x -> (del w (x , t))/(del t) = 0

Ficamos, assim, com:

u (x , t) = A v (x , t) w ( x , t )

Aplicando a regra do produto:

(del u (x , t))/(del t) = A ( (del v (x , t))/(del t) w (x , t) + v (x , t) (del w (x , t))/(del t) )

Substituindo, ficamos com:

(del u (x , t))/(del t) = A ( a lambda c o s ( a lambda t + phi ) s e n lambda x + s e n (a lambda t + phi) 0 )

(del u (x , t))/(del t) = A a lambda cos (a lambda t + phi) s e n lambda x

Chamando, agora, e calculando sua derivada:

k = cos (a lambda t + phi) -> (del k (x , t))/(del t) = a lambda (- s e n (a lambda t + phi)) -> (del k (x , t))/(del t) = - a lambda s e n (a lambda t + phi)

Ficamos, agora, com:

(del u (x , t))/(del t) = A a lambda k (x , t) w ( x , t )

Calculando, por fim, nesse passo:

(del)/(del t) ((del u)/(del t)) = A a lambda ( (del k (x , t))/(del t) w (x , t) + k (x , t) (del w (x , t))/(del t) )

Substituindo, ficamos com:

(del)/(del t) ((del u)/(del t)) = A a lambda ( ( - a lambda s e n (a lambda t + phi) ) s e n lambda x + cos (a lambda t + phi) 0 )

Ou seja:

(del^2 u)/(del t^2) = - A a^2 lambda^2 s e n (a lambda t + phi) s e n lambda x (i)

Passo 2

Agora vamos calcular (del^2 u)/(del x^2) .

Faremos as mesmas mudanças de variáveis usadas acima, porém prestando atenção porque agora a derivada é em x.

v (x , t) = s e n (a lambda t + phi) . Aplicando a regra da cadeia, (del v (x , t))/(del x) = 0 .

w (x , t) = s e n lambda x -> (del w (x , t))/(del t) = lambda cos lambda x

Ficamos, assim, com:

u (x , t) = A v (x , t) w ( x , t )

Aplicando a regra do produto:

(del u (x , t))/(del x) = A ( (del v (x , t))/(del x) w (x , t) + v (x , t) (del w (x , t))/(del x) )

Substituindo, ficamos com:

(del u (x , t))/(del x) = A ( 0 s e n lambda x + s e n (a lambda t + phi) lambda cos lambda x )

(del u (x , t))/(del x) = A lambda s e n (a lambda t + phi) cos lambda x

Mudando as variáveis e calculando suas derivadas:

v (x , t) = s e n (a lambda t + phi) -> (del v (x , t))/(del x) = 0

m (x , t) = cos lambda x -> (del m (x , t))/(del x) = lambda (- s e n lambda x) -> (del m (x , t))/(del x) = - lambda s e n lambda x

Ficamos, agora, com:

(del u (x , t))/(del x) = A lambda v (x , t) m ( x , t )

Calculando, por fim, nesse passo:

(del)/(del t) ((del u)/(del t)) = A lambda ( (del v (x , t))/(del x) m (x , t) + v (x , t) (del m (x , t))/(del x) )

Substituindo, ficamos com:

(del)/(del t) ((del u)/(del t)) = A lambda ( 0 cos lambda x + s e n (a lambda t + phi) ( - lambda s e n lambda x ) )

Ou seja:

(del^2 u)/(del t^2) = - A lambda^2 s e n (a lambda t + phi) s e n lambda x (ii)

Resposta

Comparando (i) e (ii), verificamos que

(del^2 u)/(del t^2) = a^2 (del^2 u)/(del x^2) .

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