Enunciado

Verifique que a regra de L’Hôpital não ajuda a encontrar o limite; se ele existir, encontre-o com algum outro método.

61. lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ 2 x x + 1

Passo 1

Primeiro, verificamos se a função é passível de se aplicar a regra de L’Hôpital:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ 2 x x + 1 = ∞ ∞

Tendo como indeterminação ∞ ∞ , podemos aplicar a regra. Derivamos numerador e denominador e teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ 2 x x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 x + x ∙ sin ⁡ 2 x x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 + sin ⁡ 2 x + 2 x ∙ cos ⁡ 2 x 1 = ∄

Chegamos, no entanto, à conclusão de que aplicar L’Hôpital não os ajuda a calcular o limite. Não podemos calcular diretamente funções trigonométricas no infinito. Precisamos tentar calcular o limite de outra forma.

Passo 2

Uma forma interessante aqui seria dividir numerador e denominador pelo termo de x com maior grau, da seguinte forma:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + x ∙ sin ⁡ 2 x x + 1 = lim x → + ∞ ⁡ 2 + sin ⁡ 2 x 1 + 1 x

Mais uma vez repetimos esse processo:

= lim x → + ∞ ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x x 1 x + 1 x 2

E por que fazer isso? Bom, dessa forma conseguimos fazer aparecer na nossa função o limite fundamental:

l i m x → + ∞ sin ⁡ k x x = 0

Mas, será que isso pode nos ajudar? Continuando o cálculo, aplicando + ∞ em x , obteríamos:

Passo 3

lim x → + ∞ ⁡ 2 x + sin ⁡ 2 x x 1 x + 1 x 2 = 0 + 0 0 + 0 = 0 0

Resultamos em uma indeterminação que não pode ser resolvida. Nem por L’Hôpital, e nem manipulando nossa função conseguimos chegar a um valor numérico para o resultado.

Assim, podemos concluir que o limite não existe!

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x 2 + sin ⁡ 2 x x + 1 = ∄

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