Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ x + e 2 x 1 x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + e 2 x 1 x =   e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + e 2 x 1 x

Passo 2

Agora temos lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + e 2 x 1 x e aplicaremos L’Hôpital.

lim x → 0 ⁡ 1 + 2 e 2 x x + e 2 x 1     = lim x → 0 ⁡ 1 + 2 e 2 x x + e 2 x

Passo 3

Resolvendo o limite temos

lim x → 0 ⁡ x + e 2 x 1 x = e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ x + e 2 x 1 x =   e lim x → 0 ⁡ 1 + 2 e 2 x x + e 2 x = e 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ x + e 2 x 1 x = e 3

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