Enunciado

Verifique se o teorema do Divergente é verdadeiro para o campo vetorial F → na região E .

F → x , y , z = ( z ,   y ,   x ) , E é a bola sólida x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16 .

Passo 1

O problema pede para verificarmos se o teorema do divergente é válido para o campo vetorial F → na região E .

Neste caso, E é a região interna à esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e F → = ( z ,   y ,   x ) . A condição para que o teorema seja válido é que as componentes de F → tenha derivadas contínuas na região E .

Para esse problema:

∂ x F x = 0 ,             ∂ y F x = 0                 e                 ∂ z F x = 1

∂ x F y = 0 ,             ∂ y F y = 1                 e                 ∂ z F y = 0

∂ x F z = 1 ,             ∂ y F z = 0                 e                 ∂ z F z = 0

Todas essa derivadas são contínuas em qualquer ponto do espaço, de modo que são contínuas em E . Desta forma, como as condições do teorema são válidas, podemos usá-lo neste caso! Era isso que o exercício queria que verificássemos!

Resposta

Verificação.

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