Enunciado

Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

8. ∑ n = 1 ∞ - 2 n n 2

Passo 1

O teste da razão é:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Se L < 1 a série será absolutamente convergente, e se L > 1 , é divergente.

Aplicando na nossa série, a gente vai ficar com o seguinte:

L = lim n → ∞ ⁡ - 2 n + 1 ( n + 1 ) 2 - 2 n n 2 = l i m n → ∞ - 2 n + 1 ( n + 1 ) 2 n 2 - 2 n

Simplificando o - 2 n :

L = l i m n → ∞ ( - 2 ) n 2 ( n + 1 ) 2

Tirando do módulo, ficamos com:

L = l i m n → ∞ 2 n 2 ( n + 1 ) 2

Passo 2

Para resolvermos o limite, precisamos tirar a maior potência de n tanto do denominador quanto do numerador, nesse caso é n 2 , e o numerador já está da maneira que precisamos, vamos então mexer no denominador.

Primeiro, abrimos o polinômio:

L = l i m n → ∞ 2 n 2 ( n + 1 ) ( n + 1 )

E aí colocamos cada n em evidência:

L = l i m n → ∞ 2 n 2 n ( 1 + 1 n ) n ( 1 + 1 n ) = l i m n → ∞ 2 n 2 n 2 ( 1 + 1 n ) ( 1 + 1 n )

Simplificando eles com o n 2 em cima:

L = l i m n → ∞ 2 ( 1 + 1 n ) ( 1 + 1 n )

Aplicando o limite, os termos 1 n tendem para zero, sobrando só:

L = 2 ( 1 ) ( 1 ) = 2

Como L > 1 , a série é divergente.

Resposta

D i v e r g e n t e

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ n n 2 ( n 2 )
Seja a n =n 2 n ,s enéu mn ú m e r op r i m o 1 2 n , c a s oc o n t r á r i o é ú á ∑ a n converge? Justifique sua resposta.
Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) [ 2 ∙ 4 ∙ … ∙ 2 n ] ( 3 n + 1 )
Mostre que ∑ n = 1 ∞ 2 n 2 n ! diverge. Lembre-se das leis dos expoentes que 2 ( n 2 ) = 2 n n .
Quais das séries nos Exercícios 55-62 convergem? E quais divergem? Justifique suas respostas. ∑ n = 1 ∞ 1 ∙ 3 ∙ … ∙ ( 2 n - 1 ) 4 n 2 n n !