Enunciado

Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial F e superfície S .

F x , y , z = y i + z j + x k

S é o hemisfério x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,   y ≥ 0 , orientado na direção positiva do eixo y .

Passo 1

Inicialmente, vamos calcular ∫ C F . d r . A fronteira de S é o círculo y = 0 ,   x 2 + z 2 = 1 com a seguinte representação paramétrica:

r = cos ⁡ t , 0 , sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

d r = - sen ⁡ t , 0 , cos ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Dado que o campo vetorial é

F = y i + z j + x k

Substituindo os valores de r no campo vetorial, temos:

F r t = ( 0 , sen ⁡ t , cos ⁡ t )

Passo 2

Vamos calcular essa integral!

∫ C F . d r = ∫ 2 π 0 0 , sen ⁡ t , cos ⁡ t ⋅ - sen ⁡ t , 0 , cos ⁡ t d t

∫ C F . d r = ∫ 2 π 0 cos 2 ⁡ t d t

Usando a simplificação trigonométrica cos 2 ⁡ x = 1 + cos ⁡ 2 x 2 ,

∫ C F . d r = 1 2 ∫ 2 π 0 ( 1 - cos ⁡ 2 t ) d t

∫ C F . d r = 1 2 t + sin ⁡ 2 t 2 2 π 0 = - π

Passo 3

Note que podemos usar a formula, quando y = g ( x , z ) :

∬ S F . d S = ∬ D - P ∂ g ∂ x + Q - R ∂ g ∂ z   d A

onde F = P i + Q j + R k . No entanto, a fórmula é usada quando a superfície é orientada para cima, ao invés de orientada para baixo. Logo, a nossa resposta precisa de um sinal negativo! Vamos calcular as derivadas parciais de y = 1 - x 2 - y 2 :

∂ g ∂ x = - x 1 - x 2 - z 2

∂ g ∂ z = - z 1 - x 2 - z 2

Assim,

∬ S r o t ( F ) . d S = ∬ D - - 1 - x 1 - x 2 - z 2 - - 1 - - 1 - z 1 - x 2 - z 2   d A

∬ S r o t F . d S = ∬ D - - x 1 - x 2 - z 2 - 1 - z 1 - x 2 - z 2 d A

A região D é a projeção a superfície no plano x y . No nosso caso, é a região dentro da circunferência x 2 + y 2 = 1 2 . Em coordenadas polares, temos:

∫ 0 1 ∫ 0 2 π - r cos ⁡ θ 1 - r 2 - 1 - r sin ⁡ θ 1 - r 2 r d θ d r

∫ 0 1 - r 2 sin ⁡ θ 1 - r 2 - r θ + r 2 cos ⁡ θ 1 - r 2 0 2 π d r  

∫ 0 1 - 2 π r d r = - π r 2 0 1 = - π

Assim, o teorema de Stokes é verificado!

Resposta

É verdadeiro!

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