Enunciado

Determine as direções em que a derivada direcional de f x ,   y = x 2 + x y ³ no ponto ( 2 ,   1 ) tem valor 2 .

Passo 1

Antes de começar a análise das direções da derivada direcional, vamos descobrir quanto vale a derivada direcional no ponto que foi dado, tudo bem? Temos que:

D u f x ,   y = f x x ,   y cos ⁡ θ + f y x ,   y s e n   θ

As derivadas parciais no ponto ( 2 ,   1 ) são:

f x ,   y = x 2 + x y ³

f x = 2 x + y 3 ⇒ f x 2 ,   1 = 2.2 + 1 3 = 5

f y = 3 x y 2 ⇒ f y 2 ,   1 = 3.2 . 1 2 = 6

Sendo assim, teremos:

D u f 2 ,   1 = f x 2 ,   1 cos ⁡ θ + f y 2 ,   1 s e n   θ

∴ D u f 2 ,   1 = 5 cos ⁡ θ + 6 s e n   θ

Passo 2

O enunciado nos pede as direções em que D u f ( 2 ,   1 ) tem valor 2 , então o que precisamos fazer aqui é:

D u f 2 ,   1 = 2

5 cos ⁡ θ + 6 s e n   θ = 2

Isolando 5 cos ⁡ θ , teremos:

5 cos ⁡ θ = 2 - 6 s e n   θ

Elevando ambos os lados ao quadrado:

25 c o s 2 θ = 2 - 6 s e n   θ 2

25 c o s 2 θ = 2 2 - 2.2 . 6 s e n   θ + 36 s e n 2 θ

25 c o s 2 θ = 4 - 24 s e n   θ + 36 s e n 2 θ

Sabemos que pela trigonometria: c o s 2 θ = 1 - s e n 2 θ , então:

25 . 1 - s e n 2 θ = 4 - 24 s e n   θ + 36 s e n 2 θ

25 - 25 s e n 2 θ = 4 - 24 s e n   θ + 36 s e n 2 θ

61 s e n 2 θ - 24 s e n   θ - 21 = 0

Passo 3

Então galera, no passo anterior encontramos uma equação do segundo grau, não é mesmo? Sendo assim, vamos resolve-la para descobrir os 2 valores possíveis de θ ! Chamando s e n   θ = u para facilitar nossos cálculos, teremos:

61 u 2 - 24 u - 21 = 0

∆   = b 2 - 4 a c

∆   = - 24 2 - 4.61 . - 21

∆   = 576 + 5124 = 5700

u 1 = - b + ∆ 2 a = - - 24 + 5700 2.61 = 10 57 + 24 122

u 2 = - b - ∆ 2 a = - - 24 - 5700 2.61 = - 10 57 + 24 122

Voltando para a nossa variável, teremos:

s e n   θ = 10 57 + 24 122

Ou

s e n   θ = - 10 57 + 24 122

∴ θ ≈ - 0,43577   r a d

Resposta

θ ≈ - 0,43577   r a d

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

14.28. Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de f x , y = x 2 + sin ⁡ x y no ponto ( 1,0 ) tem valor 1.
14.34. Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2 onde x , yez são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de coordenadas 50 ,80
Determine a derivada direcional de f x ,y ,z = x y ² z ³ ² ³ em P ( 2 ,1 ,1 ) na direção de Q ( 0 ,- 3 ,5 ) .
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.24. f x ,y ,z = x ln ⁡ ( y z ) ,1 ,2 , 1 2
21-26. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre.25. f x ,y ,z = x y + z ,( 8 ,1 ,3 )