Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart - Capítulo 16.7 - Ex. 48

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A temperatura num ponto de uma bola com condutividade K é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Encontre a taxa de transmissão de calor através da esfera S de raio a com centro no centro da bola.

Passo 1

Pessoal, se a temperatura em um ponto ( x , y , z ) é dada por T ( x , y , z ) , então a taxa de transmissão de calor é dada pelo campo vetorial

F = - K ∇ T

onde K é uma constante determinada experimentalmente e é conhecida como condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor através da superfície S é dada pela integral de superfície

∬ F . d S

Tendo como o centro da bola como a origem, temos:

T x , y , z = K C x 2 + y 2 + z 2

onde C é uma constante de proporcionalidade.

Assim, podemos escrever o campo vetorial como

F = K C x i + y j + z k x 2 + y 2 + z 2

Passo 2

Sabemos que,

∬ F . d S = ∬ F . n d S

onde n é o vetor unitário normal. Ele pode ser definido da seguinte maneira:

n = 1 a ( x i + y j + z k )

Portanto,

∬ F . d S = ∬ F . n d S

∬ F . d S = ∬ K C x + y + z a x 2 + y 2 + z 2 3 2 d S

∬ F . d S = ∬ K C a x 2 + y 2 + z 2 d S

Note que para os pontos na superfície S , nós temos x 2 + y 2 + z 2 = a 2

∬ F . d S = ∬ K C a a 2 d S

∬ F . d S = ∬ K C a 2 d S

∬ F . d S = K C a 2 ∬ d S

Notem que ∬ d S é a área superficial da esfera, que é 4 π a 2 . Logo,

∬ F . d S = K C a 2 4 π a 2 = 4 π K C

Resposta

A taxa de transferência é:

∬ F . d S = 4 π K C

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