Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.7 - Ex. 48
A temperatura num ponto de uma bola com condutividade é inversamente proporcional à distância do centro da bola. Encontre a taxa de transmissão de calor através da esfera de raio com centro no centro da bola.
Passo 1
Pessoal, se a temperatura em um ponto é dada por , então a taxa de transmissão de calor é dada pelo campo vetorial
onde é uma constante determinada experimentalmente e é conhecida como condutividade da substância. A taxa de transmissão de calor através da superfície é dada pela integral de superfície
Tendo como o centro da bola como a origem, temos:
onde é uma constante de proporcionalidade.
Assim, podemos escrever o campo vetorial como
Passo 2
Sabemos que,
onde é o vetor unitário normal. Ele pode ser definido da seguinte maneira:
Portanto,
Note que para os pontos na superfície , nós temos
Notem que é a área superficial da esfera, que é . Logo,
Resposta
A taxa de transferência é:
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