Calcule a integral definida.

∫ - 1 0 x 2 d x 2 x 2 + 2 x + 1 2

Passo 1

Devemos tentar decompor a nossa fração em frações parciais, para então integrar cada uma separadamente. Vamos tentar abrir nossa fração dessa forma:

x 2 2 x 2 + 2 x + 1 2 = A x + B 2 x 2 + 2 x + 1 + C x + D 2 x 2 + 2 x + 1 2

Agora devemos desenvolver a soma, e comparando com a fração original encontraremos os valores de A ,   B ,   C e D .

Passo 2

Vamos então fazer a soma:

A x + B 2 x 2 + 2 x + 1 + C x + D 2 x 2 + 2 x + 1 2 = A x + B 2 x 2 + 2 x + 1 + C x + D 2 x 2 + 2 x + 1 2

= A 2 x 3 + 2 x 2 + x + B 2 x 2 + 2 x + 1 + C x + D 2 x 2 + 2 x + 1 2

Agora devemos arrumar a expressão, agrupando os termos com cada potência de x .

Passo 3

A nossa fração então fica:

A x 3 + 2 A + 2 B x 2 + A + 2 B + C x + ( B + D ) 2 x 2 + 2 x + 1 2 = x 2 2 x 2 + 2 x + 1 2    

Cada valor que está multiplicado por uma potência de x deve ser o mesmo valor que está na fração original. Isso nos dá 4 equações:

  1. A = 0
  2. 2 A + 2 B = 1
  3. A + 2 B + C = 0
  4. B + D = 0

De (1) tiramos que B = 1 2 e de (3) que C = - 2 B = - 1 . De (4), obtemos D = - B = - 1 2 . Temos então nossa expressão dividida em frações parciais:

x 2 2 x 2 + 2 x + 1 2 = 1 2 ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) + - x - 1 2 2 x 2 + 2 x + 1 2

Passo 4

Agora podemos integrar:

∫ x 2 d x 2 x 2 + 2 x + 1 2 = ∫ d x 2 ( 2 x 2 + 2 x + 1 ) - 1 2 ∫ ( 2 x + 1 ) d x 2 x 2 + 2 x + 1 2

A primeira integral calculamos completando o quadrado:

∫ d x 2 2 x 2 + 2 x + 1 = 1 4 ∫ d x x 2 + x + 1 2 = 1 4 ∫ d x x + 1 2 2 + 1 2 2 = 1 4 ⋅ 2 arctan ⁡ 2 x + 1 2 + C

= 1 2 arctan ⁡ ( 2 x + 1 ) + C

Para a segunda, devemos tentar colocar 2 x 2 + 2 x + 1 ' = 4 x + 2 no numerador, para conseguirmos integrar facilmente. Então fazemos assim:

- 1 2 ∫ 2 x + 1 d x 2 x 2 + 2 x + 1 2 = - 1 4 ∫ 4 x + 2 d x 2 x 2 + 2 x + 1 2 = - 1 4 ∫ d 2 x 2 + 2 x + 1 2 2 x 2 + 2 x + 1 2

= - 1 4 ⋅ - 1 2 x 2 + 2 x + 1 + C = 1 4 2 x 2 + 2 x + 1 + C

Passo 5

Agora vamos para a integral definida:

∫ - 1 0 x 2 d x 2 x 2 + 2 x + 1 2 = 1 2 arctan ⁡ ( 2 x + 1 ) - 1 0 + 1 4 2 x 2 + 2 x + 1 - 1 0

= 1 2 arctan ⁡ 1 - 1 2 arctan ⁡ - 1 + 1 4 - 1 4 = π 8 + π 8 = π 4

Resposta

∫ - 1 0 x 2 d x 2 x 2 + 2 x + 1 2 = π 4

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