Enunciado

Uma viga com 30   m de comprimento está apoiada em uma parede e o seu topo está se deslocando para baixo a uma velocidade de 0,5   m / s . Qual será a taxa de variação de medida do ângulo formado pela viga e pelo chão quando o topo da viga estiver a 18   m do chão.

Passo 1

É bom a gente sempre tentar desenhar o que o problema está descrevendo para entender melhor!

Na diagonal, nós temos uma viga de 30   m , que forma um triângulo retângulo com a parede e o chão, como mostrado no desenho abaixo!

Agora que a gente visualizou o problema, vamos pensar no que temos que fazer!

O enunciado diz que a altura h diminui a uma taxa de 0,5   m / s e pede a velocidade com que o ângulo θ diminui quando a viga estiver com a ponta que está encostada na parede a uma altura de 18   m .

Aqui nós vamos precisar utilizar nossos conhecimentos de trigonometria para relacionar as duas taxas.

Passo 2

Vamos começar tentando encontrar a relação das duas taxas. Para isso, vamos desenhar o nosso triângulo.

Como temos a hipotenusa, o cateto oposto e sua variação, e queremos a variação do ângulo, uma boa relação que podemos usar é a do seno,

sin ⁡ θ = h 30

Lembrando que tanto o ângulo como a altura variam de acordo com o tempo. Então vamos encontrar suas derivadas em função do tempo.

Passo 3

A gente pode escrever a equação da seguinte forma,

d d t sin ⁡ θ = d d t h 30

Derivando implicitamente em relação a t , temos:

cos ⁡ θ ⋅ d θ d t = 1 30 ⋅ d h d t

O problema pede a taxa de variação de medida do ângulo formado pela viga e pelo chão quando o topo da viga estiver a 18   m do chão. Então agora vamos encontrar o valor de θ nesse ponto, antes de substituir tudo nessa equação que acabamos de encontrar.

Passo 4

A gente consegue achar o valor de θ , substituindo na equação do seno, onde o cateto oposto será 18   m e a hipotenusa 30   m (se não ficou claro, da uma olhada no nosso primeiro desenho).

sin ⁡ θ = 18 30 = 3 5 ⇒ θ = sin - 1 ⁡ 3 5

Passo 5

Agora sim, vamos substituir os valores na equação que encontramos no P a s s o   3 . Temos que,

θ = sin - 1 ⁡ 3 5

d h d t = 0,5   m / s = 1 2 m / s

Substituindo os valores:

cos ⁡ θ ⋅ d θ d t = 1 30 ⋅ d h d t

cos ⁡ θ ⋅ d θ d t = 1 30 ⋅ 1 2

d θ d t = 1 60 ⋅ cos ⁡ sin - 1 ⁡ 3 5

Como as unidades estavam em metros e segundos a resposta será dada em radianos por segundo

Ufaaa, pronto terminou, espero ter ajudado :3

Resposta

d θ d t = - 1 1 60 ⋅ cos ⁡ sin - 1 ⁡ 3 5   r a d / s

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