Enunciado

Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto ( 0,1 ) e cuja inclinação em ( x , y ) seja x y .

Passo 1

Bom, pessoal. A primeira coisa que pode nos assustar no enunciado é a expressão “inclinação em ( x , y ) ”, mas fica tranquilo que é só um modo diferente de dizer y ' ou d y d x .

Então a gente sabe, do enunciado, que y ' = x y , e queremos encontrar uma equação tipo essa, só que sem derivadas. Ou seja, a gente quer dar um sumiço no y ' , e deixar só x e y na equação.

Passo 2

Vamos então escrever nossa equação do seguinte modo:

d y d x = x . y

O que será que dá pra gente fazer aqui? Bora tentar colocar tudo que é x de um lado, e tudo que é y do outro?

1 y d y = x   d x

Olha só! É uma equação separável! Então vamos integrar cada lado da equação:

∫ 1 y d y = ∫ x   d x + C

ln ⁡ y = x 2 2 + C

Passo 3

Mas e essa constante C , como a gente acha ela? Pra isso, a gente volta no enunciado e observa se tem alguma informação que ainda não usamos. E olha lá, a gente precisa fazer a curva passar pelo ponto ( 0,1 ) . Então a gente substitui x = 0 e y = 1 na equação acima :

l n 1 = 0 2 2 + C

0 = 0 + C

C = 0

Então nossa equação fica:

ln ⁡ y = x 2 2

y = e x 2 / 2

y = ± e x 2 / 2

Mas, se y = 1 faz parte da nossa curva, então temos que eliminar a solução negativa:

y = e x 2 / 2

Resposta

y = e x 2 / 2

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