Enunciado

Nos exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

21. ∫ - ∞ 0 d x x - 2 2

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita à esquerda (que está dentro do intervalo dos limetes de integração dado), sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ - ∞ 0 d x x - 2 2 = lim t → - ∞ ⁡ ∫ t 0 d x x - 2 2 = l i m t → - ∞ - 1 x - 2 t 0 =

= l i m t → - ∞ 1 2 - - 1 t - 2 = 1 2

Logo, a integral imprópria e convergente.

Resposta

∫ - ∞ 0 d x x - 2 2 = 1 2

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