Enunciado

Nos Exercícios 31-38, encontre os máximos e mínimos absolutos das funções nos domínios dados.

T x ,   y = x 2 + x y + y 2 - 6 x na placa retangular 0 ≤ x ≤ 5 , - 3 ≤ y ≤ 3 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem com vocês? Vem comigo, que vou te explicar este exercício no passo a passo.

Para determinarmos os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado limitado D :

  1. Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D .
  2. Determine os valores extremos de f na fronteira de D .
  3. O maior dos valores dos pontos (a) e (b) é o valor máximo absoluto; o menor desses valores é o valor mínimo absoluto.

Sendo assim, primeiro temos que encontrar os pontos críticos da função, que descobrimos pelas derivadas parciais de primeira ordem, da função T dada no enunciado:

T x = 2 x + y - 6

T y = x + 2 y

Quando essas derivadas são nulas, temos o sistema com duas equações e duas incógnitas:

2 x + y - 6 = 0         ( I ) x + 2 y = 0                     ( I I )

Da equação (II), temos:

x = - 2 y

Substituindo na equação (I):

2 - 2 y + y = 6

- 3 y = 6

y = - 2

Voltando na equação (II) para encontrarmos o valor de x :

x = - 2 - 2 = 4

Sendo assim, o único ponto crítico existente é 4 ,   - 2 . O valor de T neste ponto é:

T 4 ,   - 2 = - 12

Passo 2

No ponto (b), consideramos um lado do retângulo de cada vez, que é constituído por quatro segmentos de reta L 1 , L 2 , L 3 e L 4 , de acordo com a Figura:

Em L 1 , temos y = - 3 . A função:

T x ,   y = T x ,   - 3 = x 2 - 3 x + - 3 2 - 6 x

= x 2 - 9 x + 9

E definida no intervalo fechado 0 ≤ x ≤ 5 . Seus valores extremos podem ocorrer nas extremidades:

  • x = 0 onde T 0 ,   - 3 = 9 ;
  • x = 5 onde T 5 ,   - 3 = - 11 .
  • E nos pontos interiores, temos:

    T ' x ,   - 3 = 2 x - 9 = 0

    x = 9 2

    Então o ponto interior é T 9 2 ,   - 3 = - 11,25 .

    Passo 3

    No segmento L 2 , temos x = 5 :

    T x ,   y = T 5 ,   y = 25 + 5 y + y 2 - 6 ∙ 5

    = y 2 + 5 y - 5

    Definido por - 3 ≤ y ≤ 3 , que os candidatos nesse segmento são:

  • T 5 ,   - 3 = - 11 ;
  • T 5 ,   3 = 19 .
  • E o ponto interior:

    T ' 5 ,   y = 2 y + 5 = 0

    y = - 5 2

    É T 5 ,   - 5 2 = - 11,25 .

    Passo 4

    Sobre L 3 temos y = 3

    T x , y = T x ,   3 = x 2 + 3 x + 3 2 - 6 x

    = x 2 - 3 x + 9

    Definido por 0 ≤ x ≤ 5 , que os candidatos nesse segmento são:

  • T 0 ,   3 = 11 ;
  • T 5 ,   3 = 19 .
  • E os pontos interiores são:

    T ' x ,   3 = 2 x - 3 = 0

    2 x = 3

    x = 3 2

    Então temos o ponto T 3 2 ,   3 = 6,75 .

    Passo 5

    E por último, sobre L 4 com x = 0 :

    T x , y = T 0 ,   y = y 2

    Definido por - 3 ≤ y ≤ 3 , que os candidatos nesse segmento são:

  • T 0 ,   - 3 = 9 ;
  • T 0 ,   3 = 9 .

E os pontos interiores são:

T ' 0 ,   y = 2 y = 0

y = 0

Onde temos: T 0 ,   0 = 0 .

Dentre todos os pontos encontrados, podemos observar que o valor máximo é 19 que é T 5 ,   3 e o mínimo é - 12 que é ponto T 4 ,   - 2 .

Resposta

  • Mínimo absoluto: - 12 em 4 ,   - 2 ;
  • Máximo absoluto: 19 em 5 ,   3 .

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